偏微分方程数值解

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1、偏微分方程数值解(NumericalSolutionofPartialDifferentialEquations)主讲:王曰朋eduwyp@yahoo.com.cn1参考数目GeorgeJ.Haltiner,RogerTerryWilliams,NumericalPredictionandDynamicMeteorology(2ndEdition),theUnitedStatesofAmerica,1979.2.CurtisF.GeraldandPatrickO.,AppliedNumerica

2、lAnalysis,PersonEducation,Inc.,2004.3.EugeniaKalnay,AtmosphericModeling,DataAssimilationandPredictability,thepressSyndicateoftheUniversityofCambridge,2003.4.AriehIserles,AFirstCourseintheNumericalAnalysisofDifferentialEquations,CambridgeUniversityPre

3、ss,1996.5.李荣华,冯国忱.微分方程数值解.北京:人民教育出版社,1980.6.徐长发,李红.实用偏微分方程数值解法.华中科技大学出版社,2003.7.沈桐立,田永祥等.数值天气预报.北京:气象出版社,2007.2数值天气预报—PDE数值解挪威气象学家V.Bjerknes(1904)提出数值预报的思想:通过求解一组方程的初值问题可以预报将来某个时刻的天气—思想;L.F.Richardson(1922):开创了利用数值积分进行预报天气的先例,由于一些原因(如,计算稳定性问题“Courant

4、,1928”)并没有取得预期的效果—尝试;Charney,Fjortoft,andVonNeumann(1950),借助于Princeton大学的的计算机(ENIAC),利用一个简单的正压涡度方程(C.G.Rossby,1940)对500mb的天气形式作了24小时预报---成功;3TheElectronicNumericalIntegratorandComputer(ENIAC).4常微分方程的数值解大气科学中常微分方程和偏微分方程的关系1.大气行星边界层(近地面具有湍流运动特性的大气薄层,1—

5、1.5km),埃克曼(V.W.Ekman)(瑞典)螺线的导出;2.1963年,美国气象学家Lorenz在研究热对流的不稳定问题时,使用高截断的谱方法,由Boussinesq流体的闭合方程组得到了一个完全确定的三阶常微分方程组,即著名的Lorenz系统。5Lorenz系统dx/dt=a(y-x)dy/dt=x(b-z)-ydz/dt=xy-cz其中,a=10,(Prandtlnumber);b=28(Rayleighnumber);c=8/3;(x,y,z)_0=(0.01;0.01;1e-10)

6、678910Franceshini将Navier-Stokes方程截断为五维的截谱模型如下:11欧拉法—折线法常微分方程能直接进行积分的是少数,而多数是借助于计算机来求常微分方程的近似解;有限差分法是常微分方程中数值解法中通常有效的方法;建立差分算法的两个基本的步骤:1.建立差分格式,包括:a.对解的存在域剖分;b.采用不同的算法可得到不同的逼近误差—截断误差(相容性);c.数值解对真解的精度—整体截断误差(收敛性);d.数值解收敛于真解的速度;e.差分算法—舍人误差(稳定性).122.差分格式

7、求解将积分方程通过差分方程转化为代数方程求解,一般常用递推算法。在常微分方程差分法中最简单的方法是Euler方法,尽管在计算中不会使用,但从中可领悟到建立差分格式的技术路线,下面将对其作详细介绍:13差分方法的基本思想“就是以差商代替微商”考虑如下两个Taylor公式:(1)(2)从(1)得到:14从(2)得到:从(1)-(2)得到:从(1)+(2)得到:15对经典的初值问题满足Lipschitz条件保证了方程组的初值问题有唯一解。16一、算法构造:0tuT1.在求解域上等距离分割:2.在有:微

8、分方程的精确解差分方程的精确解173.应用时采用如下递推方式计算:4.例题对初值问题用Euler法求解,用即,185.Euler法的几何意义0t在递推的每一步,设定过点作的切线,该切线的方程为:即:19二、误差分析构造算法后,这一算法在实际中是否可行呢?也就是说是否使计算机仿真而不失真,这还需要进一步分析。1.局部截断误差--相容性为了分析分析数值方法的精确度,常常在成立的假定下,估计误差这种误差称为“局部截断误差”,如图。局部截断误差是以点的精确解为出发值,用数值方法推进到下一个点而产生的误差

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