齐次坐标变换与成像模型

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1、1、二维图形几何变换1.1二维图形几何变换的原理二维图形由点或直线段组成直线段可由其端点坐标定义二维图形的几何变换：对点或对直线段端点的变换1.平移变换（translation）平行于x轴的方向上的移动量平行于y轴的方向上的移动量1.2几种典型的二维图形几何变换xy平移变换（5-7）（5-8）平行于x轴的方向上的缩放量平行于y轴的方向上的缩放量2.比例变换（scale）指相对于原点的比例变换yx相对于原点的比例变换相对于重心的比例变换yx重心（5-10）（5-9）比例变换的性质当时，变换前的图形与变换后的图形

2、相似当时，图形将放大，并远离坐标原点当时，图形将缩小，并靠近坐标原点当时，图形将发生畸变3.旋转变换（rotation）点P绕原点逆时针转θ度角（设逆时针旋转方向为正方向）（5-11）（5-12）将式（5-11）代入式（5-12）得：（5-13）（5-14）yx旋转变换1.3齐次坐标（homogeneouscoordinates）技术1.齐次坐标技术的引入平移、比例和旋转等变换的组合变换处理形式不统一，将很难把它们级联在一起。2.变换具有统一表示形式的优点便于变换合成便于硬件实现3.齐次坐标技术的基本思想把一

3、个n维空间中的几何问题转换到n+1维空间中解决。齐次坐标一个统一的点与向量表示方法向量:点:统一的形式:4.齐次坐标表示齐次坐标表示不是唯一的有n个分量的向量有n+1个分量的向量哑元或标量因子规格化的齐次坐标齐次坐标右边的四元组称为齐次坐标齐次坐标非齐次坐标空间坐标系到齐次坐标系的转换点的齐次坐标表示齐次向量坐标形式（w0）5.基本几何变换的齐次坐标表示平移变换比例变换旋转变换：6.无穷远点或无穷远区域的齐次坐标表示时，齐次坐标表示一个n维的无穷远点逆时针为正1.4常用的二维几何变换1.对称变换（symme

4、try）（反射变换或镜像变换）（1）相对于y轴对称（2）相对于x轴对称oyx对称变换（1）yxo对称变换（2）（3）相对于原点对称（即中心对称）（4）相对于直线y=x对称oxy对称变换（3）xyoy=x对称变换（4）（5）相对于直线y=-x对称xyoy=-x对称变换（5）2.错切变换（shear）（1）沿x轴方向关于y轴错切将图形上关于y轴的平行线沿x方向推成θ角的倾斜线，而保持y坐标不变。△x错切变换（1）yx（2）沿y轴方向关于x轴错切将图形上关于x轴的平行线沿y方向推成Ψ角的倾斜线，而保持x坐标不变。错

5、切变换（2）yx△y1.相对于任意点（x0,y0）的比例变换对任意点比例变换的步骤：（1）平移变换（2）相对于原点的比例变换（3）平移变换当（x0,y0）为图形重心的坐标时，这种变换实现的是相对于重心的比例变换。1.5二维组合变换令任意点比例变换示意图平移平移比例则有2.绕任意点（x0,y0）的旋转变换绕任意点旋转变换的步骤：（1）平移变换（2）对图形绕原点进行旋转变换（3）平移变换θ(x2,y2)(x3,y3)(x0,y0)θOxy(x1,y1)(x4,y4)相对于任意点(x0,y0)的旋转变换任意点旋转变

6、换示意图平移平移旋转令则有三维几何变换（1/8）三维齐次坐标(x,y,z)点对应的齐次坐标为标准齐次坐标(x,y,z,1)右手坐标系xyz三维几何变换（2/8）平移变换三维几何变换（3/8）放缩变换三维几何变换（4/8）旋转变换:右手螺旋方向为正绕x轴yxyzz’y’zoox轴指向纸外三维几何变换（5/8）绕y轴zyzxx’z’xooy轴指向纸外三维几何变换（6/8）绕z轴xzxyy’x’yoox轴指向纸外绕轴旋转角三维几何变换错切变换zyxzyxzyxzyxzyxzyx三维错切变换沿z含x错切沿z含y错切沿

7、y含x错切沿y含z错切沿x含y错切沿x含z错切三维几何变换（8/8）三维变换的一般形式旋转、比例、错切、对称平移透视投影总体比例左手坐标系-右手坐标系右手坐标系：当右手四指沿x轴至y轴方向握紧，拇指所指的方向即为+z方向（缺省坐标系）左手坐标系：判断方法类似，用左手平移利用平移矩阵，将点V=(x,y,z)T平移至V’=(x+Tx,y+Ty,z+Tz)T处，表示为V’=V+T缩放利用缩放矩阵，将点V=(x,y,z)T缩放(d1,d2,d3)倍其中对角线上的元素表示对应坐标系分别放大(di>1)或者缩小了(di<

8、1)的量旋转矩阵R是旋转矩阵，如果R的转置等于R的逆，即RTR=RRT=I每个矩阵R对应一单位长度的旋转轴U和旋转角度。该对应并不是唯一的，例如-U也是对应R的旋转轴绕x轴旋转当点绕x轴以逆时针方向（从x轴正方向向原点看）旋转角时，旋转矩阵为：xyz绕y轴旋转当点绕y轴以逆时针方向旋转角时，旋转矩阵为：绕z轴旋转当点绕z轴以逆时针方向旋转角时，旋转矩阵为：旋转令c=cos(q)且s=sin(