行列式与矩阵

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1、行列式、矩阵和向量1行列式1.1第一行有n个数，从到，同理第二行也有n个数，从到。同样的，也可以看成第一列有n个数，从到。1.2n阶行列式有个数组成。1.3余子式：去掉某个数所在行和所在列后的n-1阶行列式，就是这个数的余子式，一般用表示。1.4代数余子式：1.51.6三阶行列式计算方法=1.7行列式性质1.7.1行列互换，其值不变：所有行变成所有列，所有列变成所有行，值不变1.7.2某一行或某一列全部为零，行列式值为零第12页共12页1.1.1某一行（或列）是另一行（或列）的倍数，行列式值为零1.1.2

2、两行（或列）对换，其值变号1.1.3某行有公因数k，则k可以提取到行列式号外，用一个数乘行列式等于用这个数乘某一行（或一列）1.1.4某行的每个数都等于两个数的和，则该行列式可以变成两个行列式之和，即1.1.5行列式某行k倍加到另一行，其值不变1.2特殊行列式1.2.1对角行列式1.2.2上三角行列式1.2.3下三角行列式第12页共12页1矩阵1.1定义：由个数（=1,2,3，…，m；=1,2,3，…，n）排列成m行n列的矩形数表称为m×n矩阵，记作或所有元素均为0的矩阵称为零矩阵，记作1.2同型矩阵：行

3、和列数均相等的两个矩阵，称为同型矩阵。如果两个同型矩阵中对应元素都相等，则成两矩阵相等。1.3只有同型矩阵才可以相加减，同型矩阵相加减得到的结果是同行同列的矩阵相加减。A、B、C为三个同型矩阵ØA+B=B+A（交换律）ØA+B+C=A+（B+C）（结合律）ØA+0=0+A=AØA-B=A+（-B）1.4矩阵乘法1.4.1矩阵乘以个常数k，则矩阵的每个元素均乘以k1.4.2矩阵相乘：矩阵相乘必须满足如下条件第12页共12页Ø第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数Ø所得到的矩阵是，行数等于第一个矩阵的行数，

4、列数等于第二个矩阵的列数，即，Ø矩阵中任一元素Ø0A=A0=0ØABC=A（BC）ØA（B+C）=AB+ACØ1.1特殊矩阵1.1.1单位矩阵，也可以记作1.1.2对角矩阵、上（下）三角矩阵Ø对角矩阵、上（下）三角矩阵同对角行列式、上（下）三角行列式排列方式一样。Ø同阶对角矩阵的和、数乘、乘积仍为对角矩阵Ø同阶上（下）三角矩阵和、数乘、乘积仍为上（下）三角矩阵1.2可逆矩阵1.2.1第12页共12页如果A是一个n阶矩阵，如果存在一个n阶矩阵B，使得AB=BA=，则称为可逆矩阵，并称B是A的逆矩阵，记作B=

5、1.1.1为矩阵的伴随矩阵其中是元素的代数余子式任何n阶矩阵与它的伴随矩阵之间满足==1.1.2n阶矩阵是否可逆的充要条件是1.1.3可逆矩阵性质Ø若可逆，则也可逆，且Ø若可逆，常数，则也可逆，且Ø若、同阶可逆，则也可逆，且Ø若可逆，则1.2矩阵初等变换1.2.1对矩阵的行实施的三种变换称为矩阵的初等行变换1.2.2互换矩阵中的某两行（交换变换）1.2.3把某行的倍加到另一行上去（倍加变换）1.2.4用一个非零常数乘矩阵的某一行（倍乘变换）1.2.5阶梯形矩阵：矩阵的一种特殊形式Ø阶梯形矩阵的全零行（元素

6、全部为0的行）位于矩阵的下方Ø第12页共12页各非零行的第一个非零元素称为主元（非零行中左起第一个不是零的元素）。下一个主元应在上一行主元的右下边1.1.1初等变换求可逆矩阵的逆矩阵对矩阵按照如下变换，则可求得可逆矩阵的逆矩阵。，将矩阵和单位矩阵放置到一个矩阵中，然后对合并后的矩阵按照初等行变换，将原矩阵变成单位矩阵之后，后面的矩阵就是。在进行矩阵初等行变换之前，首先判定原矩阵是否有逆矩阵，即判定是否等于零。1.2矩阵的秩简单的说，矩阵的秩就是在矩阵经过初等行变换成阶梯形矩阵之后，非零行个数。1.2.1秩

7、的定义在矩阵中，任取行列，位于这行列交叉处的个元素按其原来的次序排成一个阶行列式，称为矩阵的一个阶子式。秩：矩阵的不为零的子式的最高阶数称为矩阵的秩，记作1.2.2特点ØØ=0A=0第12页共12页Ø≥rA中有r阶子式不为0Ø≤rA中所有r+1阶子式全为0Ø≠0Ø=ØØØ若A为可逆矩阵，则=，=Ø若，则≤n1向量1.1n维向量：n个有顺序的数，，…，组成的数组（，，…，）叫做n维行向量。记作=（，，…，），即==（，，…，）叫做n维列向量。一般的列向量用，等字母表示，行向量用，表示。1.2n维向量的线性运

8、算：跟矩阵完全相同。1.3向量长度，如果则称为单位向量。1.4向量组的线性相关性1.4.1向量线性组合与线性表出第12页共12页对n维向量，，…，和，若存在常数，，…，，使得则称可以由向量组，，…，线性表出。并称为向量组，，…，的一个线性组合，，，…，称为组合系数。1.1.1向量可由向量组，，…，线性表出方程组有解（且方程组的一个解就是一组表出系数）矩阵（，，…，）和（，，…，，）有相同秩，，…，（，，…，）1.1.2向量组的