空间向量和立体几何

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时间:2018-10-19

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1、..................................一、知识点<一>常用结论1.证明直线与直线的平行的思考途径(1)转化为判定共面二直线无交点;(2)转化为二直线同与第三条直线平行;(3)转化为线面平行;(4)转化为线面垂直;(5)转化为面面平行.2.证明直线与平面的平行的思考途径:(1)转化为直线与平面无公共点;(2)转化为线线平行;(3)转化为面面平行.3.证明平面与平面平行的思考途径:(1)转化为判定二平面无公共点;(2)转化为线面平行;(3)转化为线面垂直.4.证明直线与直

2、线的垂直的思考途径:(1)转化为相交垂直;(2)转化为线面垂直;(3)转化为线与另一线的射影垂直;(4)转化为线与形成射影的斜线垂直.5.证明直线与平面垂直的思考途径:(1)转化为该直线与平面内任一直线垂直;(2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直;(3)转化为该直线与平面的一条垂线平行;(4)转化为该直线垂直于另一个平行平面;(5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.6.证明平面与平面的垂直的思考途径:(1)转化为判断二面角是直二面角;(2)转化为线面垂直.7.夹角公式:设a=,b=,则cos

3、〈a,b〉=.8.异面直线所成角:=(其中()为异面直线所成角,分别表示异面直线的方向向量)9.直线与平面所成角:(为平面的法向量).10.二面角的平面角或(,为平面,的法向量).11.空间两点间的距离公式若A,B,则=.12.异面直线间的距离:(是两异面直线,其公垂向量为,分别是上任一点,为间的距离).专业技术Word资料下载可编辑..................................13.点到平面的距离:(为平面的法向量,是经过面的一条斜线,).14.三个向量和的平方公式:15.

4、长度为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为,夹角分别为,则有.(立体几何中长方体对角线长的公式是其特例).116.面积射影定理.(平面多边形及其射影的面积分别是、,它们所在平面所成锐二面角的).117.球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长,正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长,正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长〈二〉温馨提示:1.在用反三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成

5、的角等时,你是否注意到它们各自的取值范围及义?①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次.②直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是.③反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是.〈三〉解题思路:1、平行垂直的证明主要利用线面关系的转化:专业技术Word资料下载可编辑..................................线面平行的判定:线面平行的性质:三垂线定理(及逆定理):线面垂直:面面垂直:专业技术Word资料下载可编辑..................

6、................2、三类角的定义及求法(1)异面直线所成的角θ,0°<θ≤90°(2)直线与平面所成的角θ,0°≤θ≤90°(三垂线定理法:A∈α作或证AB⊥β于B,作BO⊥棱于O,连AO,则AO⊥棱l,∴∠AOB为所求。)三类角的求法:①找出或作出有关的角。②证明其符合定义,并指出所求作的角。③计算大小(解直角三角形,或用余弦定理)。二、题型与方法专业技术Word资料下载可编辑..................................【考点透视】不论是求空间距离还是空间

7、角,都要按照“一作,二证,三算”的步骤来完成。求解空间距离和角的方法有两种:一是利用传统的几何方法,二是利用空间向量。【例题解析】考点1点到平面的距离求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度,其关键在于确定点在平面内的垂足,当然别忘了转化法与等体积法的应用.例1如图,正三棱柱的所有棱长都为,为中点.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求二面角的大小;(Ⅲ)求点到平面的距离.考查目的:本小题主要考查直线与平面的位置关系,二面角的大小,点到平面的距离等知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.解答过程:

8、解法一:(Ⅰ)取中点,连结.为正三角形,.正三棱柱中,平面平面,专业技术Word资料下载可编辑..................................平面.连结,在正方形中,分别为的中点,,.在正方形中,,平面.(Ⅱ)设与交于点,在平面中,作于,连结,由(Ⅰ)得平面.,为二面角的平面角.在中,由等面积法可求得,又,.所以二面角的大小为.(Ⅲ)中,,.在正三棱柱中,到平面的距离为.设点到平面的距离为.由,得,.点到平面的距离为.解法二:(Ⅰ)取中点,连结.为正三角形,.在

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