2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案和评分标准

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1、2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知为整数，且满足，则的可能的值有（）A.1个B.2个C.3个D.4个2．已知非负实数满足，则的最大值为（）A．B．C．D．3．在△中，，为的中点，于，交于，已知，，则＝（）A．B．C．D．4．6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是（）A．B．C．D．5．设表示不超过实数的最大整数，令.已知实数满足，则（）A．B．C．D．16．在△中，，，，在上，在上，使得△为等腰直角三角形,,则的长为（）A．　　

2、　B．　　　C．　　　　D．二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知实数满足，，则____．2．使得不等式对唯一的整数成立的最大正整数为．3．已知为等腰△内一点，，，为的中点，与交于点，如果点为△的内心，则．4．已知正整数满足:，，，则．11第二试一、（本题满分20分）设实数满足，，求的值．二．（本题满分25分）如图，在平行四边形中，为对角线上一点，且满足,的延长线与△的外接圆交于点.证明：．三．（本题满分25分）设是整数，如果存在整数满足，则称具有性质.在1，5，2013，2014这四个数中，哪些数具有性质，哪些数不具有性质？并说明理由.112014年全国初中数学联合竞

3、赛试题参考答案及评分标准第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．【答】C.由已知等式得，显然均不为0，所以＝0或.若，则.又为整数，可求得或所以或.因此，的可能的值有3个.2．【答】A.，易知：当，时，取得最大值.3．【答】B.因为，，所以四点共圆，所以，又，所以，所以.又易知△∽△，所以，从而可得.4．【答】B.若取出的3张卡片上的数字互不相同，有2×2×2＝8种取法；若取出的3张卡片上的数字有相同的，有3×4＝12种取法.所以，从6张不同的卡片中取出3张，共有8＋12＝20种取法.要使得三个数字可以构成三角形的三边长，只可能是：（2，4，4），（4，4，6），（2，

4、6，6），（4，6，6），由于不同的卡片上所写数字有重复，所以，取出的3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的情况共有4×2＝8种.因此，所求概率为.5．【答】D.设，则，所以，因式分解得，所以.由解得，显然，所以1.6．【答】A.过作于，易知△≌△，△∽△.设，则，，，，故，即.又，故可得.故.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）111．【答】0.由题意知，所以整理得，所以0.2．【答】144.由条件得，由的唯一性，得且，所以，所以.当时，由可得，可取唯一整数值127.故满足条件的正整数的最大值为144.3．【答】.由题意可得，而，所以，从而可得.又，所以，从而.所以，

5、，所以.4．【答】36.设的最大公约数为，，，均为正整数且，，则，所以，从而，设（为正整数），则有，而，所以均为完全平方数，设，则，均为正整数，且，.又，故，即.注意到，所以或.若，则，验算可知只有满足等式，此时，不符合题意，故舍去.若，则，验算可知只有满足等式，此时，符合题意.因此，所求的.11第二试一、（本题满分20分）设实数满足，，求的值．解由已知条件可得，.设，，则有，，……………………5分联立解得或.……………………10分若，即，，则是一元二次方程的两根，但这个方程的判别式，没有实数根；……………………15分若，即，，则是一元二次方程的两根，这个方程的判别式，它有实数根.

6、所以.……………………20分二．（本题满分25分）如图，在平行四边形中，为对角线上一点，且满足,的延长线与△的外接圆交于点.证明：．证明由是平行四边形及已知条件知.……………………5分又A、B、F、D四点共圆，所以，所以△∽△，……………………15分所以.……………………20分又，所以△∽△，故.……………………25分三．（本题满分25分）设是整数，如果存在整数满足，则称具有性质.在1，5，2013，2014这四个数中，哪些数具有性质，哪些数不具有性质？并说明理由.解取，，可得，所以1具有性质.取，，可得，所以5具有性质.…………………5分为了一般地判断哪些数具有性质，记，则11＝

7、.即①……………………10分不妨设，如果，即，则有；如果，即，则有；如果，即，则有；由此可知，形如或或（为整数）的数都具有性质.因此，1，5和2014都具有性质.……………………20分若2013具有性质，则存在整数使得.注意到，从而可得，故，于是有，即，但2013＝9×223＋6，矛盾，所以2013不具有性质.……………………25分2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各