一元二次方程讲义

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1、word资料下载可编辑一元二次方程讲义考点一、概念(1)定义：①只含有一个未知数，并且②未知数的最高次数是2，这样的③整式方程就是一元二次方程。(2)一般表达式：注：当b=0时可化为这是一元二次方程的配方式(3)四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为的形式，则这个方程就为一元二次方程．（4）将方程化为一般形式：时，应满足（a≠0）(4)难点：如何理解“未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”；②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也

2、有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。典型例题：例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）ABCD变式：当k时，关于x的方程是一元二次方程。例2、方程是关于x的一元二次方程，则m的值为。考点二、方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。⑵应用：利用根的概念求代数式的值；典型例题：例1、已知的值为2，则的值为。例2、关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值为。说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.例3、已知关于x的一元二次方程的系数满足，则此方程必有一根为。说明：本题的关键点在于对“代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1”巧解代数式的值。例4、已知

3、是方程的两个根，是方程专业技术资料word资料下载可编辑的两个根，则m的值为。例5、已知，，，求变式：若，，则的值为。6、方程的一个根为（）AB1CD7、若。考点三、方程解法（1）基本思想方法：解一元二次方程就是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。（2）方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法类型一、直接开方法：就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如※对于，等形式均适用直接开方法典型例题：例1、解方程：（2）（4）（5）例2、解关于x的方程：3.下列方程无解的是（）A.B.C.D.类型二、配方法基本步骤:1.先将常数c移到方程右边2.将二次项系数化为1

4、专业技术资料word资料下载可编辑　　3.方程两边分别加上一次项系数的一半的平方4.方程左边成为一个完全平方式：※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。典型例题：例1、试用配方法说明的值恒大于0，的值恒小于0。例2、已知x、y为实数，求代数式的最小值。变式：若，则t的最大值为，最小值为。例3、已知为实数，求的值。变式1：已知，则.变式2：如果,那么的值为。例4、分解因式：类型三、因式分解法:把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的

5、两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，※方程形式：如，，专业技术资料word资料下载可编辑※分解方法:提公因式,利用平方差与完全平方公式,十字相乘法针对练习：例1、的根为（）ABCD例2.（1）(平方差)(2)(提公因式)（3）（平方差)（4）(完全平方式)(5）(完全平方式)（6）（十字相乘法）（7）（十字相乘法）（8）(提公因式)例3、若，则4x+y的值为。例4、方程的解为（）A.B.C.D.例5、解方程：例6、已知,则的值为。专业技术资料word资料下载可编辑变式：已知,且,则的值为。例7、解下列方程(1)(2x–3

6、)2=(3x–2)2(2)-=x+2(4)5m2–17m+14=0(5)(x2+x+1)(x2+x+12)=42类型四、公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式的值，当判别式大于等于零时，把各项系数a,b,c的值代入求根公式,就可得到方程的根。⑴条件：⑵公式：,典型例题：例1、选择适当方法解下列方程：⑴⑵⑶⑷⑸说明：解一元二次方程时，首选方法是因式分解法和直接开方法、其次选用求根公式法；一般不选择配方法。类型五、“降次思想”的应用主要内容：⑴求代数式的值；⑵解二元二次方程组。专业技术资料word资料下载可编辑典型例题：例1、已知，求代数式的值。例2、如果，那么代数式的值。例3、

7、已知是一元二次方程的一根，求的值。说明：在运用降次思想求代数式的值的时候，要注意两方面的问题：①能对已知式进行灵活的变形；②能利用已知条件或变形条件，逐步把所求代数式的高次幂化为低次幂，最后求解。例4、用两种不同的方法解方程组说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：①先消元，再降次；②先降次，再消元。但都体现了一种共同的数学思想——化归思想，即把新问题转化归结为我们已知的问题.考点四、根与系数的关系⑴前提：对于而言，当满足①、②