一元二次方程提高培优

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时间:2018-10-20

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1、专业技术资料分享1、一元二次方程的一般式:,为二次项系数,为一次项系数,为常数项。2、一元二次方程的解法(1)直接开平方法(也可以使用因式分解法)①解为:②解为:③解为:④解为:(2)因式分解法:提公因式分,平方公式,平方差,十字相乘法如:此类方程适合用提供因此,而且其中一个根为0注意:提取整个因式的方法非常常见,解题的过程中一定要认真观察。十字相乘法非常实用,注意在解题的过程中多考虑。(3)配方法①二次项的系数为“1”的时候:直接将一次项的系数除于2进行配方,如下所示:示例:②二次项的系数不为“1”的时候:先提取二次项的系数,之后的方法同上:示例:备注:实际在解方程的过程中,一般

2、也只是针对且为偶数时,才使用配方法,否则可以考虑使用公式法来更加简单。(4)公式法:一元二次方程,用配方法将其变形为:WORD文档下载可编辑专业技术资料分享①当时,右端是正数.因此,方程有两个不相等的实根:②当时,右端是零.因此,方程有两个相等的实根:③当时,右端是负数.因此,方程没有实根。注意:虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解,但它往往并非最简单的,一定要注意方法的选用。备注:公式法解方程的步骤:①把方程化成一般形式:一元二次方程的一般式:,并确定出、、②求出,并判断方程解的情况。③代公式:(要注意符号)备注:一元二次方程的解题步骤:①首先看方程中是否可以同时除以或者乘以一

3、个非零的数,使得方程更加方便计算:如:(同除于10)这样更加方便计算。(同乘于,这样二次项的系数为正整数,更方便计算)②四种求方程方法的一定要合理选用,依次按直接开平方、因式分解,配方法和公式法的顺序考虑选用。③可以考虑选用根与系数的关系对方程的根进行适当的检验,同时对于应用题中,一定要考虑根的实际意义,是否所有的根都是方程的解。3、一元二次方程的根与系数的关系法1:一元二次方程的两个根为:所以:,定理:如果一元二次方程定的两个根为,那么:WORD文档下载可编辑专业技术资料分享法2:如果一元二次方程定的两个根为;那么两边同时除于,展开后可得:;法3:如果一元二次方程定的两个根为;那

4、么②①①②得:(余下略)常用变形:,,,,,等练习:【练习1】若是方程的两个根,试求下列各式的值:(1);(2);(3);(4).【练习2】已知关于的方程,根据下列条件,分别求出的值.(1)方程两实根的积为5;(2)方程的两实根满足.【练习3】已知是一元二次方程的两个实数根.(1)是否存在实数,使成立?若存在,求出的值;若不存在,请您说明理由.(2)求使的值为整数的实数的整数值.4、韦达定理相关知识(1)若一元二次方程有两个实数根,那么,。我们把这两个结论称为一元二次方程根与系数的关系,简称韦达定理。(2)如果一元二次方程的两个根是,则,。WORD文档下载可编辑专业技术资料分享(3

5、)以为根的一元二次方程(二次项系数为1)是(4)在一元二次方程中,有一根为0,则;有一根为1,则;有一根为,则;若两根互为倒数,则;若两根互为相反数,则。(5)二次三项式的因式分解(公式法) 在分解二次三项式的因式时,如果可用公式求出方程的两个根,那么.如果方程无根,则此二次三项式不能分解。5、一类特殊的二元一次方程的求解方法再探讨的两个根为,那么:(1)的两个根为:,(原因留给大家自行思考)例1:先求出方程:的两根为:,故原方程的根为:(2)的两个根为:,例2:先解得方程:的两根为:,所以原方程的两个解为:6、应用题(1)平均增长率的问题:其中:为基数,为增长率,表示连续增长的次

6、数,表示增长后的数量。(2)面积问题:注意平移思想的使用7、换元法例:解:令则原方程可化为:解得:①当时,求得:WORD文档下载可编辑专业技术资料分享②当时,求得:(原方程共有4个解)练习:考点精析考点一、概念(1)定义:①只含有一个未知数,并且②未知数的最高次数是2,这样的③整式方程就是一元二次方程。(2)一般表达式:⑶难点:如何理解“未知数的最高次数是2”:①该项系数不为“0”;②未知数指数为“2”;③若存在某项指数为待定系数,或系数也有待定,则需建立方程或不等式加以讨论。典型例题:例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是()ABCD变式:当k时,关于x的方程是一元二次方程。

7、例2、方程是关于x的一元二次方程,则m的值为。针对练习:★1、方程的一次项系数是,常数项是。★2、若方程是关于x的一元一次方程,⑴求m的值;⑵写出关于x的一元一次方程。★★3、若方程是关于x的一元二次方程,则m的取值范围是。★★★4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程,则下列不可能的是()A.m=n=2B.m=2,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1考点二、方程的解⑴概念:使方程两边相等的未知数的值,就是方程的解。⑵应用:利用根的概念求代数式的值;WORD

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