二次函数的图像与性质 课后练习二及详解

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1、学科：数学专题：二次函数的图像与性质重难点易错点解析题一：题面：二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出下列结论：①b2－4ac>0；②2a＋b<0；③4a－2b＋c=0；④a︰b︰c=-1︰2︰3.其中正确的是()A．①②B．②③C．③④D．①④满分冲刺题一：题面：如图为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，则下列说法：①a＞0②2a+b=0③a+b+c＞0④当-1＜x＜3时，y＞0其中正确的个数为()A．1B．2C．3D．4题二：题面：如图，抛物线y=x2＋bx＋c经过坐标原点，并与x轴交于点A(2，0).(1)求此抛物线的解析式；(2)

2、写出顶点坐标及对称轴；(3)若抛物线上有一点B，且，求点B的坐标.思维拓展题面：已知抛物线y=ax2+bx+c(0＜2a＜b)的顶点为P(x0，y0)，点A(1，yA)、B(0，yB)、C(－1，yC)在该抛物线上．(Ⅰ)当a=1，b=4，c=10时，①求顶点P的坐标；②求的值；(Ⅱ)当y0≥0恒成立时，求的最小值．课后练习详解重难点易错点解析题一：答案：D.详解：根据二次函数图象和性质分别作出判断：∵二次函数图象与x轴有两个交点，∴对应的一元二次方程y=ax2＋bx＋c有两个不相等的实数根.∴b2－4ac＞0.选项①正确.又∵对称轴为直线x=1，即，∴2a＋b=0.

3、选项②错误.∵由图象知，x=-2对应的函数值为负数，∴当x=-2时，y=4a-2b＋c＜0.选项③错误.∵图象知，x=-1对应的函数值为0，∴当x=-1时，y=a＋b＋c=0.联立2a＋b=0和y=a＋b＋c=0可得：b=-2a，c=-3a.∴a：b：c=a：(－2a)：(－3a)=-1：2：3.选项④正确.综上所述，正确的选项有：①④.故选D.满分冲刺题一：答案：C.详解：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由x=1时的函数值判断a+b+c＞0，然后根据对称轴推出2a+b与0的关系，根据图象判断-1＜x＜3时，y的符号：①∵图象开口向下，∴a＜0.说法错误.②∵对称

4、轴为x=，∴，即2a+b=0.说法正确.③当x=1时，y＞0，则a+b+c＞0.说法正确.④由图可知，当-1＜x＜3时，y＞0.说法正确.∴说法正确的有3个.故选C.题二：答案：(1)抛物线的解析式为.(2)顶点为(1，－1)；对称轴为：直线x=1.(3)点B的坐标为(3，3)或(－1，3).详解：(1)把(0，0)，(2，0)代入y=x2＋bx＋c得，解得.∴此抛物线的解析式为. (2)∵∴顶点为(1，－1)；对称轴为：直线x=1.(3)设点B的坐标为(a，b)，则由解得b=3或b=－3.∵顶点纵坐标为－1，－3＜－1，∴b=－3舍去.∴由x2－2x=3解得x1=3

5、，x2=－1∴点B的坐标为(3，3)或(－1，3).思维拓展答案：(Ⅰ)①P(－2，6);②；(Ⅱ)的最小值为3.详解：(Ⅰ)若a=1，b=4，c=10，此时抛物线的解析式为y=x2+4x+10.①∵y=x2+4x+10=(x+2)2+6，∴抛物线的顶点坐标为P(－2，6).②∵点A(1，yA)、B(0，yB)、C(－1，yC)在抛物线y=x2+4x+10上，∴yA=15，yB=10，yC=7.∴.(Ⅱ)由0＜2a＜b，得.由题意，如图过点A作AA1⊥x轴于点A1，则AA1=yA，OA1=1.连接BC，过点C作CD⊥y轴于点D，则BD=yB－yC，CD=1.过点A作A

6、F∥BC，交抛物线于点E(x1，yE)，交x轴于点F(x2，0).则∠FAA1=∠CBD.∴Rt△AFA1∽Rt△BCD.∴，即.过点E作EG⊥AA1于点G，易得△AEG∽△BCD.∴，即.∵点A(1，yA)、B(0，yB)、C(－1，yC)、E(x1，yE)在抛物线y=ax2+bx+c上，∴yA=a+b+c，yB=c，yC=a－b+c，yE=ax12+bx1+c，∴，化简，得x12＋x1－2=0，解得x1=－2(x1=1舍去).∵y0≥0恒成立，根据题意，有x2≤x1<－1.则1－x2≥1－x1，即1－x2≥3.∴的最小值为3.