泊松方程和边界条件

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1、、泊松方程和边界条件假定所研究的区域为V，在一般情况下V内可以有多种介质或导体，对于每一种介质自身是均匀线性各向同性。设V内所求电势为，它们满足泊松方程两类边界条件：①边界S上，为已知，若为导体=常数。②边界S上，为已知，给定（）定总电荷Q。它相当于若是导体要给内边界条件为边值关系注：在实际问题中，因为导体内场强为零，可以不包含在所求区域V内。导体面上的边界条件可视为外边界条件。：V内两介质分界面上自由电荷为零二、唯一性定理1．均匀单一介质电场）唯一确定。分布已知，满足若V边界上已知，或V边界上已知，则V内场（静区域内证明：假定泊松方程有两个解，有在边界上令由格林第一公式

2、令则由于积分为零必然有常数（1）若给定的是第一类边值关系即常数为零。电场唯一确定且电势也是唯一确定的。虽不唯一，但电场（2）若给定的是第二类边值关系常数，相差一个常数，是唯一确定的。介质分区均匀（不包含导体）已知，成立，给定区域或。在分界面上，或V内（证明见书P．60）sv区域V内电场唯一确定均匀单一介质中有导体（证明见教材）Q2Q1εSS1S2V（或Q1、Q2）为已知，则区域V已知，或、内电场唯一确定。当，求内的电势。导体中三、唯一性定理的意义更重要的是它具有十分重要的实用价值。无论采用什么方法得到解，只要该解满足泊松方程和给定边界条件，则该解就是唯一的正确解。因此对于

3、许多具有对称性的问题，可以不必用繁杂的数学去求解泊松方程，而是通过提出尝试解，然后验证是否满足方程和边界条件。满足即为唯一解，若不满足，可以加以修改。唯一性定理给出了确定静电场的条件，为求电场强度指明了方向。四、应用举例半径为a的导体球壳接地壳内中心放置一个点电荷Q，求壳内场强。解：点电荷Q放在球心处，壳接地因而腔内场唯一确定。Q不满足已知点电荷产生的电势为但它在边界上要使边界上任何一点电势为0，设它满足根据唯一性定理，它是腔内的唯一解。可见腔内场与腔外电荷无关，只与腔内电荷Q有关。解：导体球具有球对称性，电荷只分布在外表面上。假定电场也具有球对称性，则电势坐标与无关。因

4、电荷分布在有限区，外边界条件导体表面电荷Q已知，电场唯一确定。设满足，带电荷Q的半径为a的导体球放在均匀无限大介质中，求空间电势分布。在导体边界上3．两种均匀介质（和）充满空间，一半径a的带电Q导体球放在介质分界面上（球心在界面上），求空间电势分布。Q利用场对称对称性分析：场仍对称！在两介质分界面上：束缚电荷只分布在导体与介质分界面上。对于上半个空间，介质均匀极化，场具有对称性，同样下半空间也具有对称性。而在介质分界面上，所以可考虑球外电场仍具有球对称性。试探解QPS2S1给定，所以球外场唯一确定。解：外边界为无穷远，电荷分布在有限区导体上Q确定常数在介质分界面上下半空间

5、上半空间导体球面上面电荷分布：下半球面上均匀分布上半球面上均匀分布束缚电荷分布：其他实例：Q左半空间电势？Q球壳外空间电势？