求线性差分方程的通项之数学实验

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1、钦州学院数学与计算机科学学院数学实验报告实验完成日期2010年11月8日，第11周，星期一成绩等级（五级分制）评阅教师评阅日期年月日数学实验报告填写要求：思路清晰，中间结果和最终结果真实；字迹工整，报告完整。[实验题目及内容]实验题目：借助计算机，求解下列线性差分方程（即求出数列的通项公式）。内容：为了能直观了解数列的特性，结合运用Matlab软件计算出数列的通项。[问题描述]（用自己组织的相关数学语言重述现实问题；注意对约定的条件作说明）数列满足递推关系，称这样的递推关系为二阶线性差分方程。根据观察，可以猜测具有指数形式，可设，得到，从而有，

2、运用Matlab求方程得、的解。和都是差分方程的解，都是数列的通项，但数列不会有两个通项。猜测与的线性组合仍是差分方程的解。设，代入差分方程进行检验，猜测是否成立。若成立，求出差分方程的解。根据初始条件，,可能确定常数、的值。由此得出，数列的通项公式。[模型建立或思路分析]（建立合理，可解释的数学模型，通过公式、表格或图形直观明确地描述模型的结构；无法通过建立模型解决的，给出解题的思路及办法。）设，二阶线性差分方程转换成，所以有，利用Matlab解得差分方程的解，的值，求得的解也是4数列的通项，但数列不会有两个通项。由于与满足线性关系，所以可设

3、，代入差分方程进行检验。根据初始条件、及、的值可算出常数,由此可求得数列的通项。[实验结果]（通过数学表达式、列表或图形图像的方式显示实验结果。）、满足线性组合，所以因为初始条件，，从而有因此，数列的通项公式为：[结果分析及结论]（对实验结果进行定量分析、合理性分析或误差分析；对所讨论的问题重新认识或提出相关类似问题的拓延；给出自己的意见和合理建议。）（1）解题过程中，线性方程的基本知识要了解，还要大胆假设与猜测具有的指数形式，如果不理解题目，则想不出解题思路。结合解题步骤中的思路，以及4借助计算机的Matlab软件，求出数列的通项公式为：（2

4、）类似的问题可以了解Fabonacci数列的特性，利用求通项的方法，可以计算出Fabonacci数列的通项为。[求解方法或解题步骤]（针对所建模型或解题思路，给出具体的求解方法或解题步骤。对通过编程解决的问题，画出流程图，给出细节部分的算法，给出相关软件的代码；其他方法解决的，给出详细的解题步骤。）（1）数列满足递推关系，称这样的递推关系为二阶线性差分方程。根据观察，可以猜测具有指数形式。不妨设为进行尝试。将代入差分方程：得到消去因子有运用Matlab软件：solve('x^2-2*x-2','x')ans=[1+3^(1/2)][1-3^(1

5、/2)]所以，解得，由此可知这两个都是差分方程的解。（2）和都是差分方程的解，都是数列的通项，但这是不怎么可能，因为数列不会有两个通项。猜测与的线性组合仍是差分方程的解。设，代入差分方程进行检验，猜测确实成立！因此，差分方程的解为：4（3）根据初始条件，,有可以确定常数,的值。运用Matlab软件输入：symsxy[x,y]=solve('(1+3^(1/2))*x+(1-3^(1/2))*y-3','((1+3^(1/2))^2)*x+((1-3^(1/2))^2)*y-8')得出x=1/3*3^(1/2)+1/2y=-1/3*3^(1/2)

6、+1/2因此，求解得，所以，数列的通项公式为：4