函数概念的历史演变及理解

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1、屮文摘要21函数概念的历史演变31.1函数概念的纵向发展31.1.1函数“变量说”定义的形成及利弊31.1.1.1“变量说”下的函数概念发展简史31.1.1.2“变量说”下函数概念的利弊41.1.2函数“对应说”定义的形成及利弊41.1.2.1“对应说”下的函数定义41.1.2.2“对应说”下函数概念的利弊51.1.3函数“关系说”定义的形成及利弊51.1.3.1函数“关系说”定义的形成51.1.3.2函数“关系说”定义的利弊71.1.4浅议中学函数的定义72函数的基本性质92.1函数的有界性92.2函数的单调

2、性102.3函数的奇偶性122.4函数的周期性133函数研宄的基本方法163.1代数方法解决函数问题163.2微积分方法法解决函数问题17参考文献21英文摘要22关于屮学数学函数概念的研宄数学与信息科学学院数学与应用数学专业指导教师张生春作者李娜摘要：函数是中学数学教学内容的核心组成部分。本文分别从函数概念的演变、函数性质及研究函数的基本方法三个方面进行论述说明。首先，本文简述了函数概念的三个发展阶段，并对各阶段函数不同定义进行利弊分析，这有利于读者对函数本质特征的掌握与理解；其次，文章对函数的重要性质进行了总

3、结，分别是有界性、单调性、奇偶性、周期性；最后，本文对研究函数基本方法的案例进行说明，从宏观上来把握函数，同时为函数教学提供了一个可以借鉴的思路。关键词：函数概念演变函数性质代数方法微积分方法函数概念的历史演变及理解第一章函数概念的历史演变1.1函数概念的纵向发展函数概念是数学中最重耍的概念之一，函数的相关学习贯穿于初中、高中、大学的整个学习阶段。从整个函数的发展历史角度来看，众多数学家赋予了函数不同的定义，分别从几何、代数、集合等不同角度來论述。函数的发展经历了变量说、对应说至关系说的变化过程。1.1.1函数

4、“变量说”定义的形成及其利弊1.1.1.1“变量说”下的函数概念发展简史函数的思想几乎贯穿《两门新科学》的全文，这一书由伽利略(Galileo)创作，他用比例和文字的语言表述函数的关系。伽利略虽然己涉及并讨论了变量与函数，但并没有做出一般的抽象定义。与此同时，著名的数学家笛卡尔(ReneDescartes)、托里拆利(EvangelistaTorricelli)、莱布尼茨(GottfriedWilhelmLeibniz)等，也从不同角度对函数进行了研究。笛卡尔虽然在其解析几何中，已经注意到两个变量间的依赖关系，

5、但是“函数”这一数学术语是由微积分的一位创立者莱布尼茨引入的。莱布尼茨用“函数”表示变动的量，这个量是随着曲线上的任一点变化的，并ii他指出所有与曲线上的点有关的量称为函数。“变量”、“参变量”以及“常量”等的概念也是由他给出的，一直沿用到现在。由于这个定义没有给出函数的解析定义，而是只在儿何范围内揭示某些量之间存在的依赖关系，因此，函数概念的几何起源可以看成是莱布尼茨所给出的函数定义。[1]直到瑞士数学家约翰•伯努利(JakobBernoulli)在1689年给出了函数的解析定义：由变量*和常数组成的式子。后

6、来在此基础上，欧拉(LeonhardEuler)首先给出了函数的变量定义：“如果变量以如下方式依赖于另一些变量，即当后者发生变化时，前者本身也发生变化，则称前一个变量为后一些变量的函数。”[2]显然，欧拉给出的函数定义具有更广泛的意义。1.1.1.2“变量说”下函数概念的利弊函数“变量说”避免了在以往函数定义中关于依赖关系的描述，这便是“变量说”下函数定义最出色的地方。在日常生活中，各变量间大多己经形成了“天然的”对应关系，它虽然没有突出对应关系，但不会导致误会。比如，我们在讨论球的体积与半径的关系吋，总是考虑

7、在同一个球体里体积值与半径值的对应，根据常识与经验，不会把这个球体积的值与另一个球半径的值相对应的。[5]但是函数这一定义没有把函数的对应关系这一本质特征突出出来。其一，这个定义把变量y定义为变量％的函数，让学生们错误的以为函数就是y=/(X)，而这与违背了函数所反映的变量间的依赖关系。“变量说”容易模糊/,/(%)和这三荞的区别。但事实上，/才是函数，函数/在x处的值是/U),而y=/(x)是一个方程，它是用来确定函数/的等式。举个例子来说，在我做家教的过程中，有许多学生将对数说成是“logx”，却认为“lo

8、g”是毫无意义的符号，其实这些都是错误的。其二，这一定义强调了x—旦发生变化，也会跟着发生变化的依赖关系，却忽视了对应法则，这样就容易使学生产生误解。例如函数y=Vsin2x+cos2*(=1)会被学生误认为不是函数。其三，该定义将定义域和值域局限于实数范围内。当所认识的客体无可度量时，这种对应关系就不再是“量”之间的关系了。1.1.2函数“对应说”定义的形成及其利弊1.1.2.1“对