第05讲 周期信号的分解——傅里叶级数

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1、2021/6/141第05讲返回周期信号的分解——傅里叶级数2021/6/142频率分析通过变换将时间变量转变为频率变量、在频域内分析信号和系统特性的方法。这是基于信号的频率特性来分析信号与系统响应的方法。2021/6/143本章要求熟练掌握周期信号与非周期信号的频率分析熟练掌握傅氏变换与反变换的方法及其傅氏变换的性质2021/6/144本章主要内容4.1引言4.2傅里叶级数4.3周期信号的频谱4.4非周期信号的频谱返回4.5傅里叶变换的性质4.6能量谱和功率谱4.7周期信号的傅里叶变换2021/6/145本章主要内容4.1引言4

2、.2傅里叶级数4.3周期信号的频谱4.4非周期信号的频谱4.5傅里叶变换的性质返回4.6能量谱和功率谱4.7周期信号的傅里叶变换2021/6/146频率分析的重要性频率特性是信号的第二个特性。由于频率紧贴我们日常生活（周期性变化是自然界的普遍规律），频率变化的高低（或快慢）我们看的见（如表中秒针最快，时针最慢，也可以用示波器看到）、听的出（女生说话的频率高些，声音就尖锐，男生说话的频率低些，声音就低沉）、量的到（可以用频率计、示波器测量），应用也非常很多（如通信中的频分复用、时分复用），所以说频率特性是信号的非常重要的特性。202

3、1/6/147频域分析的重要性处理信号的需要，比如放大，放大器的带宽要覆盖信号的频带，就要知道信号的频带，就要用频域分析；信号计算的需要，在时域内往往要解微分方程，而用傅里叶变换到频域（拉普拉斯变换到复频域）后就变成了代数方程，求解起来很方便；一种非常基础的数学方法，应用面非常广泛。2021/6/148在时域中，将信号分解为不同时延、强度的冲激信号；在频域中，信号可以分解为不同频率、相位及振幅的简谐振荡信号。2021/6/149本章主要内容4.1引言4.2傅里叶级数4.3周期信号的频谱4.4非周期信号的频谱4.5傅里叶变换的性质返

4、回4.6能量谱和功率谱4.7周期信号的傅里叶变换2021/6/1410信号可以展开成傅里叶级数（作频域分解）的条件是“狄里赫利”（Dirichlet）条件，即f(t)在[t0，t0+T]、[0，T]或区间内，以下条件才可以展开成傅里叶级数：（T为信号周期）：周期信号的频谱分析——傅里叶级数绝对可积，即极大值、极小值数目有限间断点数目有限通常我们所遇到的周期信号大都满足以上条件。2021/6/1411傅里叶级数——三角形式若信号f(t)的周期为T，频率为，则其角频率，对应傅里叶级数展开式为：式中：——周期信号的直流分量其中n为正整数

5、2021/6/1412——n=2的称为二次谐波，n=3的称为三次谐波，以此类推。也就是说任何周期信号均可表示为由各次谐波进行叠加而成。——基波分量周期信号的谐波分量2021/6/1413还可将原有的正弦谐波与余弦谐波变换成单一的余弦谐波或正弦谐波形式，即：或式中：2021/6/1414信号波形关于纵轴对称，其傅里叶级数展开式只含有余弦项，即：an≠0及bn=0（n=0，1，2，…）。⑴偶函数：满足f(-t)=f(t)⑵奇函数：满足f(-t)=-f(t)信号波形关于原点对称，其傅里叶级数展开式只含有正弦项，即：an=0及bn≠0（n

6、=1，2，3，…）。函数的偶、奇性质及其与谐波含量的关系2021/6/1415⑶奇谐函数：满足信号波形某部分向左（或向右）平移半个周期，就会与不动的部分关于横轴对称，其傅里叶级数展开式只含有奇次谐波（包括余弦项和正弦项），即：an≠0，bn≠0（其中n=1，3，5，…），又称半波镜像信号。……2021/6/1416⑷偶谐函数：满足信号波形某部分向左（或向右）平移半个周期，就会与不动的部分完全重合，其傅里叶级数展开式只含有偶次谐波（包括余弦项和正弦项），即：an≠0，bn≠0（其中n=0，2，4，…），又称半波重叠信号。……2021

7、/6/1417例：求图示周期方波信号的傅里叶级数展开式。信号幅度为A，持续时间为τ，周期为T，对应的频率为，角频率为，于是各次谐波的系数分别为：2021/6/1418由于是偶对称，故有于是：2021/6/1419周期信号的频谱图如果以频率（或角频率）为横轴，以An的幅度或相位为纵轴，将各分量按其频率高低依次排列起来画出的谱状线，称为频谱线（或频谱图），可以分别称为振幅频谱和相位频谱（如果相位值只有0、π二个值的话，也可以画一个图）；通过各谱线的端点的连线，称为频谱包络线。2021/6/1420三角形式：周期信号的频谱图2021/6

8、/14212021/6/1422傅里叶级数——指数形式由前面的三角形式的傅里叶级数关系式可以进行如下推导：2021/6/1423指数形式2021/6/1424上式表明，任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的虚指数信号（）之和，其各分量的复数幅度