直线与双曲线位置关系典例精析

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1、直线和双曲线的位置关系一、要点精讲1.直线和双曲线的位置关系有三种:相交、相切、相离.2.弦长公式:设直线交双曲线于,,则,或.二、基础自测1.经过点且与双曲线仅有一个公共点的直线有()(A)4条(B)3条(C)2条(D)1条2.直线y=kx与双曲线不可能()(A)相交(B)只有一个交点(C)相离(D)有两个公共点3.过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径,则双曲线的通径长是(A)(B)(C)(D)4.若一直线平行于双曲线的一条渐近线,则与双曲线的公共点个数为.解:与双曲线渐近线平行的直线与双曲线有且

2、只有一个公共点,应注意直线与双曲线不是相切5.经过双曲线的右焦点且斜率为2的直线被双曲线截得的线段的长是.6.直线在双曲线上截得的弦长为4,且的斜率为2,求直线的方程.9/9三、典例精析题型一:直线与双曲线的位置关系1.如果直线与双曲线没有公共点,求的取值范围.有两个公共点呢?解,所以△=,所以,,故选D.2.(2010·安徽)若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同的两点,则k的取值范围是(  )A.B.C.D.解:由得(1-k2)x2-4kx-10=0,∴,解得-

3、公共点的直线有几条,分别求出它们的方程。9/9题型二:直线与双曲线的相交弦问题4.过双曲线的左焦点,作倾斜角为的弦,求⑴;⑵的周长(为双曲线的右焦点)。5.已知双曲线方程为,求以定点A(2,1)为中点的弦所在的直线方程.解圆锥曲线与直线相交所得的中点弦问题,一般不求直线与圆锥曲线的交点坐标,而是利用根与系数的关系或“平方差法”求解.此时,若已知点在双曲线的内部,则中点弦一定存在,所求出的直线可不检验,若已知点在双曲线的外部,中点弦可能存在,也可能不存在,因而对所求直线必须进行检验,以免增解,若用待定系数法时,只需求出k值

4、对判别式△>0进行验证即可.6.双曲线方程为.9/9问:以定点B(1,1)为中点的弦存在吗?若存在,求出其所在直线的方程;若不存在,请说明理由.7、已知中心在原点,顶点在轴上,离心率为的双曲线经过点(Ⅰ)求双曲线的方程;(Ⅱ)动直线经过的重心,与双曲线交于不同的两点,问是否存在直线使平分线段。试证明你的结论。题型三:求双曲线方程8.已知焦点在x轴上的双曲线上一点,到双曲线两个焦点的距离分别为4和8,直线被双曲线截得的弦长为,求此双曲线的标准方程.9、设双曲线与直线相交于不同的点A、B.⑴求双曲线的离心率的取值范围;9/9

5、⑵设直线与轴的交点为,且,求的值。解:(1)将y=-x+1代入双曲线-y2=1中得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0①由题设条件知,,解得0且e≠.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(0,1).∵=,∴(x1,y1-1)=(x2,y2-1).∴x1=x2,∵x1、x2是方程①的两根,且1-a2≠0,∴x2=-,x=-,消去x2得,-=,∵a>0,∴a=.10.已知双曲线的焦点为,,过且斜率为的直线交双曲线于、两点,若(其中为原点),,求双曲

6、线方程。11.双曲线的中心为原点,焦点在轴上,两条渐近线分别为,经过右焦点垂直于的直线分别交于两点.已知成等差数列,且与同向.(Ⅰ)求双曲线的离心率;(Ⅱ)设被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.解:(Ⅰ)设,,由勾股定理可得:得:,,9/9由倍角公式,解得,则离心率.(Ⅱ)过直线方程为,与双曲线方程联立,将,代入,化简有将数值代入,有,解得故所求的双曲线方程为。12、已知双曲线-=1(b>a>0),O为坐标原点,离心率e=2,点M(,)在双曲线上.(1)求双曲线的方程;(2)若直线l与双曲线交于P,Q两点,且.

7、求+的值.解:(1)∵e=2,∴c=2a,b2=c2-a2=3a2,双曲线方程为-=1,即3x2-y2=3a2.∵点M(,)在双曲线上,∴15-3=3a2.∴a2=4.∴所求双曲线的方程为-=1.(2)设直线OP的方程为y=kx(k≠0),联立-=1,得∴

8、OP

9、2=x2+y2=.则OQ的方程为y=-x,9/9同理有

10、OQ

11、2==,∴+===.13.(2012上海)在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C1:2x2-y2=1.(1)过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积;(

12、2)设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点.若l与圆x2+y2=1相切,求证:OP⊥OQ;(3)设椭圆C2:4x2+y2=1.若M、N分别是C1、C2上的动点,且OM⊥ON,求证:O到直线MN的距离是定值.解:(1)双曲线C1:,左顶点A,渐近线方程为:y=±x.过点A与渐近线y=x平行的直线方程为,即y=x+1.解方

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