国考行测同余问题中剩余定理问题

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1、国考行测同余问题中的剩余定理问题余数问题中的一个重要问题就是同余问题，在同余问题解决过程中，推荐代入法和口诀法两大类。其中口诀法是公倍数做周期，余同取余，和同加和，差同减差的应用，但是有时候会出现余不同，和不同并且差也不同的现象，这就需要我们采用剩余定理进行解决。河北华图地址：石家庄市自强路35号庄家金融大厦707咨询电话：0311-83720535、89687770、13363813228全省11个地级市均有分部，具体请咨询电话剩余定理的原理是在“孙子问题”现代数论中的一个一次同余问题，它最早出现在我国公元四世纪的数学著作

2、《孙子算经》中。《孙子算经》卷下“物不知数”题说：有物不知其数，三个一数余二，五个一数余三，七个一数又余二，问该物总数几何？显然，这相当于求不定方程组N=3x+2，N=5y+3，N=7x+2的正整数解N，或用现代数论符号表示，等价于解下列的一次同余组：N2(mod3)3(mod5)2(mod7)②《孙子算经》所给答案是N＝23。由于孙子问题数据比较简单，这个答数通过试算也可以得到。但是《孙子算经》并不是这样做的。“物不知数”题的术文指出解题的方法：三三数之，取数七十，与余数二相乘；五五数之，取数二十一，与余数三相乘；七七数之

3、，取数十五，与余数二相乘。将诸乘积相加，然后减去一百零五的倍数。列成算式就是：N＝70×3＋21×3＋15×2－2×105。这里105是模数3、5、7的最小公倍数，容易看出，《孙子算经》给出的是符合条件的最小正整数。对于一般余数的情形，《孙子算经》术文指出，只要把上述算法中的余数2、3、2分别换成新的余数就行了。以R1、R2、R3表示这些余数，那么《孙子算经》相当于给出公式N＝70×R1＋21×R2＋15×R3－P×105（p是整数）。孙子算法的关键，在于70、21和15这三个数的确定。后来流传的《孙子歌》中所说“七十稀”、

4、“廿一枝”和“正半月”，就是暗指这三个关键的数字。《孙子算经》没有说明这三个数的来历。实际上，它们具有如下特性：也就是说，这三个数可以从最小公倍数M＝3×5×7＝105中各约去模数3、5、7后，再分别乘以整数2、1、1而得到。假令k1＝2，K2＝1，K3＝1，那么整数Ki（i＝1，2，3）的选取使所得到的三数70、21、15被相应模数相除的时候余数都是1。由此出发，立即可以推出，在余数是R1、R2、R3的情况下，综合以上三式又可得到因为M＝3×5×7可被它的任一因子整除，于是又有：这里P是整数。这就证明了《孙子算经》的公式。

5、应用上述推理，可以完全类似地把孙子算法推广到一般情形：设有一数N，分别被两两互素的几个数a1、a2、……an相除得余数R1、R2、……Rn，即N≡Ri（modai）（i＝1、2、……n），只需求出一组数Ki，使满足那么适合已给一次同余组的最小正数解是（P是整数，M＝a1×a2×……×an），这就是现代数论中著名的剩余定理。如上所说，它的基本形式已经包含在《孙子算经》“物不知数”题的解法之中。不过《孙子算经》没有明确地表述这个一般的定理。剩余定理的原理比较繁琐，不如直接套用解题方法进行快速解题更能解决行测中的类似问题。下面给出

6、一些例题，对剩余定理的解题方法加以熟练:【例1】一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是多少？【华图公务员考试研究中心解析】题中3、4、5三个数两两互质。则〔4，5〕=20；〔3，5〕=15；〔3，4〕=12；〔3，4，5〕=60。为了使20被3除余1，用20×2=40；使15被4除余1，用15×3=45；使12被5除余1，用12×3=36。然后，分别乘以他们的余数：40×1＋45×2＋36×4=274，因为，274>60，所以，274－60×4=34，就是所求的数。【例2】一个数被3除余2，被7除余4，被8除

7、余5，这个数最小是多少？在1000内符合这样条件的数有几个？【华图公务员考试研究中心解析】题中3、7、8三个数两两互质。则〔7，8〕=56；〔3，8〕=24；〔3，7〕=21；〔3，7，8〕=168。为了使56被3除余1，用56×2=112；使24被7除余1，用24×5=120；使21被8除余1，用21×5=105；然后，112×2＋120×4＋105×5=1229。因为，1229>168，所以，1229－168×7=53，就是所求的数。再用(1000-53)/168得5,所以在1000内符合条件的数有5个。【例3】一个数除

8、以5余4，除以8余3，除以11余2，求满足条件的最小的自然数。【华图公务员考试研究中心解析】题中5、8、11三个数两两互质。则〔8，11〕=88；〔5，11〕=55；〔5，8〕=40；〔5，8，11〕=440。为了使88被5除余1，用88×2=176；使55被8除余1，用55×7=385；