序言 实变函数简介

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1、实变函数简介序言微积分基本定理若f(x)在[a,b]上连续，则若F`(x)在[a,b]上连续，则导数（切线斜率）xi-1xi定积分（面积）微积分发展的三个阶段创立（17世纪）：Newton（力学）Leibniz（几何）(无穷小)严格化（19世纪）:Cauchy,Riemann,Weierstrass(极限理论(ε-N,ε-δ语言)，实数理论)外微分形式（20世纪初）：Grassmann,Poincare,Cartan（微积分基本定理如何在高维空间得到体现）微积分继续发展的三个方向外微分形式(整体微分几何)（微积分基本定理如何在高维空间得到体现）复数域上的微积分（复变函数）微积分的深

2、化和拓展（实变函数）1.Riemann积分回顾(1)Riemann积分的定义积分与分割、介点集的取法无关几何意义（非负函数）：函数图象下方图形的面积。xi-1xi其中(2)Riemann可积的充要条件f(x)在[a,b]上Riemann可积其中：xi-1xixi-1xi(2)Riemann可积的充要条件f(x)在[a,b]上Riemann可积其中：xi-1xi(2)Riemann可积的充要条件f(x)在[a,b]上Riemann可积注：连续函数、只有有限个间断点的有界函数和闭区间上的单调函数Riemann可积xi-1xi例：Dirichlet函数不Riemann可积。注：D(x)的

3、下方图形可看成由[0,1]中每个有理点长出的单位线段组成。上积分下积分01（3)Riemann积分的局限性a.微积分基本定理定理：若f(x)在[a,b]上可微且f`(x)在[a,b]上Riemann连续,则注：推荐大家看看龚升写的《话说微积分》，《简明微积分》,数学历史的启示（《数学教学》，2001.1）,微积分严格化后(《高等数学研究》,2002,1-3）1881年Volterra作出一可微函数，导函数有界但不Riemann可积；b.积分与极限交换次序（一般要求一致收敛）例：设{rn}为[0,1]中全体有理数(因为其为可数集，故可把它排成序列)，作[0,1]上的函数列故对一般收

4、敛函数列，在Riemann积分意义下极限运算与积分运算不一定可交换次序，即：不一定成立。则{fn(x)}在[a,b]上Riemann可积,但不Riemann可积。Riemann积分xi-1xi为使f(x)在[a,b]上Riemann可积，按Riemann积分思想，必须使得分划后在多数小区间上的振幅足够小，这迫使在较多地方振动的函数不可积。Lebesgue提出，不从分割定义域入手，而从分割值域入手；(积分与分割、介点集的取法无关)2.Lebesgue积分思想简介1902年Lebesgue在其论文“积分、长度与面积”中提出（参见：Lebesgue积分的产生及其影响，数学进展，2002.

5、1）yiyi-1用mEi表示Ei的“长度”Lebesgue积分思想yiyi-1f(x)在Ei上的振幅不会大于δ其中mEi表示Ei的“长度”，即：对此Lebesgue自己曾经作过一个比喻，他说：假如我欠人家一笔钱，现在要还，此时按钞票的面值的大小分类，然后计算每一类的面额总值，再相加，这就是Lebesgue积分思想；如不按面额大小分类，而是按从钱袋取出的先后次序来计算总数，那就是Riemann积分思想（参见：周性伟，实变函数教学的点滴体会，《高等理科教学》，2000.1）即采取对值域作分划，相应得到对定义域的分划（每一块不一定是区间），使得在每一块上的振幅都很小，即按函数值的大小对定

6、义域的点加以归类yiyi-1013.Lebesgue积分构思产生的问题(1)集合Ei的“长度”如何定义（第三章测度论）；(2)怎样的函数可使Ei都有“长度”（第四章可测函数）；(3)定义Lebesgue积分并研究其性质（第五章积分论）；第一章集合，第二章点集，第六章微分与不定积分yiyi-14.集合论中的一些例子(1)Achilles追龟问题：时间由时刻组成，每一时刻，甲、乙都在一确定点上由于甲、乙跑完相应路程所用时间一样，故甲、乙所用“时刻数”一样，从而跑过的点的“个数”也一样。0(甲)½（乙）3/47/815/161甲的速度为1，乙的速度为1/2(2)Hilbert旅馆问题1,

7、2,3,4,5,6,…a1,a2,a3,a4,a5,a6,…问下列情况是否能把新来的人安排下：1又来了有限个人{b1,b2,b3,…，bn}3每个人带无限多个亲戚（亲戚可排个队）4又来了[0,1]个人2每个人带一个亲戚{b1,b2,b3,…,bn,…}Hilbert旅馆问题解答1b1,b2,b3,…,bn,a1,a2,a3,…1,2,3,4,5,6,…a1,a2,a3,a4,a5,a6,…4不能安排进去（[0,1]是不可数集）2b1,a1,b2,a2,b3,a3,…3