切向和法向分量

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1、理论力学讲述者：杨笑展概述：质点沿曲线运动时的速度相切于其运动路径，但加速度并不如此。而把其加速度分解到其运动路径的切向和法向时可以对其加速度进行方便的研究。本节内容质点的平面运动质点的空间运动11.13.切向和法向分量质点的平面运动首先设想一个质点如图所示的平面上做曲线运动。设P为某时刻的位置，在P点，记单位矢量et与运动轨迹相切，指向运动方向（图11.21a），记et’为P’相对应的单位矢量。yxOPenetet’P’图11.21a将et和et’移于同一坐标原点O’，如图11.21b得Δet大小为2sin(Δθ/2)，且由得由于质点的速

2、度v与运动路径相切则对其两边关于t求导得（11.35）V=vet(11.36)O’△θ△θ/2rΔetetet’图11.21b由于其中ds/dt=v,det/dθ=en，dθ/ds=1/ρ(ρ为曲率半径，图11.22)（11.37）yxO圆心ρΔsPΔθetet’Δθ=Δs/ρP’图11.22所以将公式代入得因此两分量分别为综上：加速度的切向分量反应质点运动速率变化的快慢，而法向分量反应质点运动方向的变化。只有当加速度的两个分量都为零时，加速度才会为零。（11.38）（11.39）（11.40）应用：质点运动的加速度的法向分量与路径的曲率半

3、径有关，这一点在设计飞机机翼、火车铁轨以及凸轮的结构或尺寸时常被考虑在内，为了避免空气流过机翼是加速度的突然变化，机翼的轮廓常常设计成流线形的，同样对于火车铁轨，为避免加速度的突然变化（不利于设备和旅客）常常在直铁轨和圆弧铁轨间加过渡性的特殊铁轨。通过过渡曲线防止了加速度的突变，是加速度连续的变化。如下图：凸轮铁轨机翼质点的空间运动和、的关系在空间的质点的移动中同样适用,然而由于空间曲线在P点有无数条直线与P点的切线方向垂直（图11.24a），因此，有必要更准确的定义单位矢量en。xzyP’Petet’切面xzyetet’ΔθΔet密切面x

4、zyP’Petet’密切面et’’xzyPeten（在密切面内）密切面eb（垂直于密切面）结论：质点在P处的加速度可以分解为两个分量，一个沿切线方向，另一个沿主法线eb方向。xoy面内曲线的密切面是不是xoy面？肯定是！11.14径向和横向分量在某些平面运动中，质点P的位置，由极坐标r和θ（图11.25a）确定。这样就可以将质点的速度和加速度方便的分解到平行于垂直于OP的方向上（图11.25b）。分量er和eθ分别称为径向分量和横向分量的单位向量。图11.25arθPOPOθ图11.25br=rereθer与11.13相似通过求导得到：-e

5、r代表与er反向的单位向量（图11.25c）通过微分的连锁规则，我们对er，eθ关于时间t求导（11.41）eθeθ’ΔeθΔerer’erΔθΔθO’用点来代替关于t的导数为获得质点P的速度v，P点的位置矢量r可由标量r和单位矢量er表示，对其两边关于t求导得或由（11.42）得为获得加速度再次对其关于时间t求导（11.42）（11.43）联立和，提出er和eθ得速度和加速度在径向和横向的分量的大小为特别的注意到ar不等于vr对时间的导数，aθ也不等于vθ对时间的导数（11.44）（11.45）（11.46）在质点绕圆心O做圆周运动中，由

6、于r为常量，公式（11.43）和（11.44）分别变为以下内容为扩展质点运动的空间扩展：柱面坐标质点P的空间位置，有时通过它的柱面坐标R,θ，z（图11.26a）表示xzyPθRz图11.26a方便的用单位向量，和k（图11.26b）将质点P的位置矢量r分解到这些单位矢量的方向上，得到和分别表示在水平面xy平面上的径向矢量和横向矢量，矢量k代表轴的方向在方向和大小上的常量，我们容易证明（11.48）xzyeRrθeθ图11.26bReRPkzk讲述完毕谢谢