自动控制原理(上)第4章控制系统的根轨迹分析法

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1、机械工业出版社第4章控制系统的根轨迹分析法4.1引言第4章控制系统的根轨迹分析法14.2根轨迹法的基本概念24.3根轨迹的绘制34.4广义根轨迹的绘制44.5利用根轨迹图分析控制系统性能524.6用MATLAB进行控制系统的根轨迹分析64.1引言3一.根轨迹二.根轨迹与系统性能4根轨迹就是指当系统的开环传递函数的某个参数（如开环增益K）从零变到无穷时，闭环极点，即特征方程的根在复平面上变化的轨迹。设控制系统如图4-1所示，其开环和闭环传递函数为系统闭环特征方程式的根为系统的闭环特征方程为一.根轨迹5一.根轨迹6从根轨迹中可

2、以直观的看出当开环增益K变化时，系统的闭环极点变化的情况和分布规律。二.根轨迹与系统性能（1）稳定性从图4-2可以看到，系统对于任意的K>0，系统始终是稳定的。（2）稳态性能从图4-2可以看到，系统有一个开环极点位于坐标原点，所以该系统是I型系统，系统在给定输入信号下的稳态误差由静态速度误差系数决定。（3）动态性能图4-1所示系统是一个典型的二阶系统，系统的性能由系统闭环极点的性质决定。4.2根轨迹法的基本概念7一.根轨迹方程二.系统闭环零点、极点和开环零点、极点的关系三.相角条件和幅值条件8设控制系统如图4-3所示，其闭

3、环传递函数为一.根轨迹方程式中前向通道传递函数G(s)和反馈通道传递函数H(s)分别可以表示为9则系统开环传递函数为一.根轨迹方程闭环传递函数为10根轨迹的绘制的实质就是在s平面标注系统闭环极点的过程，而系统的闭环极点由下式所得，称为根轨迹方程。一.根轨迹方程111）系统的闭环零点由系统前向通道的零点和反馈通道的极点组成，当系统是单位反馈系统时，即时，系统的闭环零点等于系统的开环零点。2）系统的闭环极点与系统的开环零点、开环极点和开环根轨迹增益有关。3）系统的闭环根轨迹增益等于系统前向通道的根轨迹增益，当系统是单位反馈系统

4、时，即时，系统的闭环根轨迹增益等于系统的开环根轨迹增益。二.系统闭环零点、极点和开环零点、极点的关系在利用根轨迹方程进行根轨迹绘制之前，首先要了解系统闭环零点、极点和开环零点、极点之间的关系。124）系统的开环根轨迹增益与系统的开环增益之间只相差一个系数，如下式所示二.系统闭环零点、极点和开环零点、极点的关系13由的根轨迹方程可得三.相角条件和幅值条件即14可以得到绘制根轨迹的相角条件和幅值条件。三.相角条件和幅值条件相角条件幅值条件当系统无开环零点时，幅值条件可表示为15三.相角条件和幅值条件解因为【例4-1】已知反馈系

5、统的开环传递函数为试用相角条件和幅值条件确定s1=-1+j,s2=-1-j是系统的共轭闭环极点，并计算此时系统开环增益K的值。如果s1，s2是系统的闭环极点，就要满足相角条件，即16三.相角条件和幅值条件从图4-4可得由幅值条件，有满足相角条件，所以s1，s2是系统的闭环极点。从图4-4可得4.3根轨迹的绘制17一.绘制根轨迹图的基本法则二.绘制根轨迹图举例18一.绘制根轨迹图的基本法则1.根轨迹的连续性和对称性根轨迹是连续的，并且对称于实轴。又因为系统特征方程的根或是实数，或是共轭复数，所以根轨迹一定是对称于实轴的。2.

6、根轨迹的分支数根轨迹在s平面上的分支数等于闭环传递函数的阶数n，也即是开环传递函数的阶数。19一.绘制根轨迹图的基本法则3.根轨迹的起点和终点根轨迹起始于系统的开环极点，终止于系统的开环零点（m条根轨迹终止于m个开环零点，有n-m条根轨迹终止于无穷远处）。当K*=0时，由得s=pi。当K*=∞时，由得s=zi或s=∞。20一.绘制根轨迹图的基本法则4.实轴上的根轨迹实轴上的某一区域，如果其右边开环实数零点、极点的个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。设系统的开环零点、极点分布如图4-5所示，对于闭环极点s1，由相角条件有所以

7、闭环极点s1是根轨迹上的点。21一.绘制根轨迹图的基本法则5.根轨迹的渐近线如果系统的开环极点数n大于开环零点数m，当根轨迹增益K*由0∞时，必有n-m条根轨迹沿着与实轴交角为a、交点为的一组渐近线趋向无穷远处。其中渐进线与实轴的交点渐进线与实轴交角22一.绘制根轨迹图的基本法则6.根轨迹的起始角和终止角根轨迹起始于开环复极点处的切线与正实轴的夹角称为根轨迹的起始角qpi；根轨迹终止于开环复零点处的切线与正实轴的夹角称为根轨迹的终止角jzj，这些角度可由以下公式求出23一.绘制根轨迹图的基本法则7.根轨迹的分离点求根轨

8、迹的分离点，就是求取闭环特征方程的重根，设系统的闭环特征方程为则根轨迹的分离点就是上述方程的解工程上可以通过以下等式，使用试探法，找到使等式近似成立的点，这个点就是系统的分离点。24一.绘制根轨迹图的基本法则试求系统根轨迹的分离点坐标。【例4-2】设反馈系统的开环传递函数为解由系统的开环传递函数可以得系