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1、第二讲行列式综合训练第一部分例2.1计算行列式，其中对角线上元素都是a，未写出的元素都是零．=解这道题可以用多种方法进行求解，充分应用了行列式的各种性质．方法1利用性质，将行列式化为上三角行列式．==-方法2仍然是利用性质，将行列式化为上三角行列式．=-方法3利用展开定理，将行列式化成对角行列式．+而==-=-方法4利用公式=．将最后一行逐行换到第2行，共换了次；将最后一列逐列换到第2列，也共换了次．21===-方法5利用公式=．例2.2计算n阶行列式：()解采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素，可在保持原行列式值不变的情况下，增加
2、一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素．=这个题的特殊情形是=可作为公式记下来．例2.3计算阶行列式：21其中．解这道题有多种解法．方法1化为上三角行列式其中，于是．方法2升阶（或加边）法方法3递推法．将改写为+21由于因此=为递推公式，而，于是======例２.4设，证明存在使.证因为是关于的二次多项式多项式,在上连续,(0,1)内可导,且,由罗尔定理知,存在,使.例2.5计算=．解这不是范得蒙行列式，但可借助求解范得蒙行列式进行求解．方法1借助于求解范得蒙行列式的技巧进行求解：从下向上，逐行操作．21（+）其
3、中 ==由于是范德蒙行列式，故==方法221其中，==方法3用升阶法．由于行列式中各列元素缺乏3次幂的元素，在中添加3次幂的一行元素，再添加一列构成5阶范得蒙行列式：=按第5列展开得到的是的4次多项式，且的系数为又利用计算范得蒙行列式的公式得= ==其中的系数为由的系数相等得：=例2.6设，计算A41+A42+A43+A44=?其中A4j(j=1,2,3,4)是
4、A
5、中元素a4j的代数余子式.解直接求代数余子式的和工作量大．可将改写为，故21A41+A42+A43+A44==例2.7求解方程:解方法1=由题设知所以是原方程的解.方法2由题设知
6、,当时,由于行列式中有两列对应元素相同,行列式值为零,因此可写成于是原方程的解为:例2.8计算元素为aij=
7、i－j
8、的n阶行列式.解方法1由题设知，=0，，，故21其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第列．方法2=例2.9计算行列式．解方法1按第一列展开：-=-=（-=（-（-方法2本题也可利用拉普拉斯展开定理进行计算，选定第2、3行，有：=（（21例2.10计算=，其中未写出的元素都是0．解方法1利用公式=．采用逐行操作，将最后一行逐行和上行进行对换，直到换到第2行（作次相邻对换）；最后一列逐列和上列换，换到第2列（作
9、次相邻对换），得到=======方法2利用行列式展开定理进行求解．21+上面第1个行列式是的形式，而第2个行列式按第1列展开，所以====例2.11计算．解方法１采用递推的方法进行求解．+即，，，故方法2采用降阶的方法进行求解．21=例2.12证明D==证方法1递推法按第1列展开，有D=xD+（－1）a=xD+a由于D=x+a，，于是D=xD+a=x（xD+a）+a=xD+ax+a21==xD+ax++ax+a=方法2第2列的x倍，第3列的x倍，，第n列的x倍分别加到第1列上===f其中或D==f其中方法3利用性质，将行列式化为上三角行列式．21
10、Dxk=x(++++a+x)=方法4++++=（－1）（－1）a+（－1）（－1）ax++（－1）（－1）ax+（－1）(a+x)x=例2.13计算n阶“三对角”行列式D=解方法1递推法．21DD—D－D即有递推关系式D=D－D(n3)故＝递推得到＝＝＝＝而，＝＝，代入上式得（2.1）由递推公式得＝＝αD＋＝＝＋＋＋＝方法2把D按第1列拆成2个n阶行列式D=＋上式右端第一个行列式等于αD，而第二个行列式21=β于是得递推公式，已与（2.1）式相同．方法3在方法1中得递推公式D=D－D又因为当时D=====D==-2==于是猜想，下面用数学归纳法证
11、明．当n=1时，等式成立，假设当nk时成立．当n=k+1是，由递推公式得D=D－D=—=所以对于nN，等式都成立．第二部分这一部分的题是与矩阵、向量、特征值等后续内容有关的题，感觉困难的同学可以放到相关内容学习后再看．但应注意考研题中关于行列式内容的出题,往往与后续内容联系较多．21例2.14设A为3×3矩阵,
12、A
13、=－2,把A按行分块为,其中是A的第行,则行列式______.解==例2.15判断题(1)若是可乘矩阵，则．（）(2)若均为阶方阵，则．（）解(1)错误，因为不一定是方阵，即不一定有对应的行列式．(2)错误，例如取，，．例2.16证明
14、:奇数阶反对称矩阵的行列式为零.证(n为奇数).所以
15、A
16、=0.例2.17（数四，01，3分）设矩阵，且秩3，则=解由于===由3，知=
