函数的奇偶性

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1、函数的奇偶性　【学习目标】1.理解函数的奇偶性定义；2.会利用图象和定义判断函数的奇偶性；3.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用.【要点梳理】要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤1．函数奇偶性的概念偶函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数.奇函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数.要点诠释：（1）奇偶性是整体性质；（2）x在定义域中，那么-x在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；（3）f(-x)=f(x)的等价形式

2、为：，f(-x)=-f(x)的等价形式为：；（4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0；（5）若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0.2.奇偶函数的图象与性质（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数.3.用定义判断函数奇偶性的步骤（1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原

3、点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；（2）结合函数的定义域，化简函数的解析式；（3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性.若=-，则是奇函数；若=，则是偶函数；若，则既不是奇函数，也不是偶函数；若且=-，则既是奇函数，又是偶函数13要点二、判断函数奇偶性的常用方法（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等.（2）验证法：在判断与的关系时，只需验证=0及是否成立即可.（3）图象法：奇（偶

4、）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称.（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.（5）分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.在函数定义域内，对自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶

5、函数的定义进行比较.要点三、关于函数奇偶性的常见结论奇函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相同的单调性，即已知是奇函数，它在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上也是增函数（减函数）；偶函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相反的单调性，即已知是偶函数且在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上也是减函数（增函数）.【典型例题】类型一、判断函数的奇偶性例1.判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)f(x)=x2-4

6、x

7、+3；(3)f(x)=

8、x+3

9、-

10、x-3

11、；(4)；(5)；(

12、6)【思路点拨】利用函数奇偶性的定义进行判断.【答案】（1）非奇非偶函数；（2）偶函数；（3）奇函数；（4）奇函数；（5）奇函数；（6）奇函数．【解析】(1)∵f(x)的定义域为，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数；13(2)对任意x∈R，都有-x∈R，且f(-x)=x2-4

13、x

14、+3=f(x)，则f(x)=x2-4

15、x

16、+3为偶函数；(3)∵x∈R，f(-x)=

17、-x+3

18、-

19、-x-3

20、=

21、x-3

22、-

23、x+3

24、=-f(x)，∴f(x)为奇函数；(4)，∴f(x)为奇函数；(5)∵x∈R，f(x)=-x

25、x

26、+x∴f(-x)=-(-x

27、)

28、-x

29、+(-x)=x

30、x

31、-x=-f(x)，∴f(x)为奇函数；(6)，∴f(x)为奇函数.【总结升华】判定函数奇偶性容易失误是由于没有考虑到函数的定义域.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件，因此研究函数的奇偶性必须“坚持定义域优先”的原则，即优先研究函数的定义域，否则就会做无用功.如在本例（4）中若不研究定义域，在去掉的绝对值符号时就十分麻烦.举一反三：【变式1】判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)；(3)；(4).【答案】（1）奇函数；（2）偶函数；（3）非奇非偶函数；（4）奇函数．【解析】(1)的定义域是，又，是奇函

32、数．（2）的定义域是，又，是偶函数．（3），∴为非奇非偶函数．（4）任取x>0则-x<0，∴f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x