教育与心理统计--线性回归

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1、[导入]1、知识导入：相关关系→因果关系自变量与因变量2、实例导入：（1）安徽省某中学为预测学生的高考作文成绩，这个问题如何解决？（2）请问什么会影响亲子关系？怎样才能知道你所认为的这些因素到底是哪个因素在影响亲子关系呢？在许多领域，包括心理学与教育的实际研究中，常常会遇到彼此有关系的两列或多列变量。回归分析是探讨变量间数量关系的一种常用统计方法。它通过建立变量间的数学模型对变量进行预测和控制。第一节线性回归模型的建立方法通过大量的观测数据，可以发现变量之间存在的统计规律性，并用一定的数学模型表示出来，这种用一定模型来表

2、示变量相关关系的方法就称为回归分析。一次函数是变量之间存在的各种各样的关系模型中最简单的形式。对于这种线性关系的回归分析叫做线性回归。只有一个自变量的线性回归称作单线性回归。一、回归分析与相关分析的关系回归分析和相关分析均为研究及度量两个或两个以上变量之间关系的方法。回归分析是以数学方式表示变量间关系，相关分析则是检验或度量这些关系的密切程度。如通过相关分析显示出变量间的关系非常密切，则通过所求得的回归模型可获得相当准确的推算值。二、回归模型与回归系数用来表达变量间规律的数学模型就称为回归模型。由于相关变量之间的规律性有

3、线性与非线性相关之分，所以，回归模型分为线性和非线性回归模型，即直线和曲线模型两种。按回归分析涉及相关变量的数目，回归模型又可分为简单回归和多重回归模型。在初等数学中，一次函数的标准形式可写成Y＝a＋bX，表明每取一个X值，就有一个惟一确定的值与之对应，做出图来是一条直线。但是在心理与教育等许多领域的实际研究中，两个变量的关系可能只呈直线趋势而不完全是直线。X与Y的关系实际不是直线，但是这些散点的分布有着明显的直线趋势。如果每取一个X值后，求出与之对应的Y的样本条件均数，则X与的对应关系可以用一直线表示，设这条直线的数学

4、形式为=a＋bX。这个方程叫回归方程，它代表X与Y的线性关系。式中X为自变量，通常是研究者事先选定的数值；叫做对应于X的Y变量的估计值。常数a表示该直线在Y轴的截距；常数b表示该直线的斜率，实际上也是的变化率。在回归分析中，b叫做回归系数，确切说，在回归方程式中b应该叫做Y对X的回归系数。一般Y对X的回归系数以bY.X表示。三、回归模型建立方法建立回归模型实际上就是根据已知两变量的数据求回归方程。如果两个变量之间存在着线性关系，则两个变量间的关系就可以拟合直线模型。回归模型的建立模型步骤一般包括：①根据数据资料作散点图，

5、直观地判断两变量之间是否大致成一种直线关系。②设直线方程式为=a＋bX。如果估计值与实际值Y之间的误差比其它估计值与实际值Y之间的误差小，则这个表达式就是最优拟合直线模型，即表示X与Y之间线性关系的最佳模型。③选定某种方法，如平均数法、最小二乘法等，使用实际数据资料，计算表达式中的a和b。④将a，b值代入表达式，得到回归方程。（一）平均数方法如果只想从一组（X，Y）值中粗略地看看X与Y的简单线性关系，有时可以用平均数法建立回归方程来描述这种关系。[例10-1]（二）最小二乘法如果想得到比较精确的回归方程，则常用最小二乘法

6、。所谓最小二乘法，就是如果散点图中每一点沿Y轴方向到直线的距离的平方和最小，则在所有直线中这条直线的代表性就是最好的，它的表达式就是所要求的回归方程。a＝－b；b＝[例10－2]四、回归系数与相关系数的关系相关系数基本公式：bY.X=；bX.Y=r.；相关系数是两个回归系数的几何平均（r＝）。五、线性回归的基本假设1．线性关系假设回归分析必须建立在变量之间具有线性关系的假设成立上。2．正态性假设正态性的假设系指回归分析中的Y服从正态分析。3．独立性假设独立性假设有两个意思。一个是指与某一个X值对应的一组Y值和与另一个X值

7、对应的一组Y值之间没有关系，彼此独立。另一个是指误差项目独立，不同的X所产生的误差之间应相互独立，无自相关，而误差项也需与自变量X相互独立。4．误差等分散性假设第二节回归模型的检验与估计考虑这个模型是否有效？是否真正反映了两个变量之间的线性关系？要对它进行检验和评价。一、回归模型的有效性检验回归模型的有效性检验是指对求得的回归方程进行显著性检验，看是否真实地反应了变量之间的线性关系。（1）回归方程的显著性检验散点图中任意一点到的距离均可以分为两部分：一部分是该点到回归直线的距离，另一部分是该点的估计值到的距离。SST=S

8、SR+SSE，即总平方和＝回归平方和＋误差平方和。SST==；SSR==[]；SSE=SST－SSR；dfT=N－1；dfE=N－2；dfR=dfT－dfE=1；MSR=；MSE=；F=[例10－3]（2）回归系数的显著性检验对于回归系数b进行显著性检验后，如果b是显著的，同样也表明所建回归方程是显著的，或说X与Y之