高考文科立体几何证明专题

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时间:2018-10-21

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1、立体几何专题1.如图4,在边长为1的等边三角形中,分别是边上的点,,是的中点,与交于点,将沿折起,得到如图5所示的三棱锥,其中.(1)证明://平面;(2)证明:平面;(3)当时,求三棱锥的体积.【解析】(1)在等边三角形中,,在折叠后的三棱锥中也成立,,平面,平面,平面;(2)在等边三角形中,是的中点,所以①,.在三棱锥中,,②;(3)由(1)可知,结合(2)可得.【解析】这个题是入门级的题,除了立体几何的内容,还考查了平行线分线段成比例这个平面几何的内容.112.如图5所示,在四棱锥P-ABCD中,AB平面PAD,A

2、BCD,PD=AD,E是PB的中点,F是DC上的点且DF=AB,PH为PAD中AD边上的高.(1)证明:PH平面ABCD;(2)若PH=1,AD=,FC=1,求三棱锥E-BCF的体积;(3)证明:EF平面PAB.解:(1)(2):过B点做BG;连接HB,取HB中点M,连接EM,则EM是的中位线即EM为三棱锥底面上的高=11(3):取AB中点N,PA中点Q,连接EN,FN,EQ,DQ3、如图,已知三棱锥A—BPC中,AP⊥PC,AC⊥BC,M为AB中点,D为PB中点,且△PMB为正三角形。(Ⅰ)求证:DM∥平面APC;(Ⅱ

3、)求证:平面ABC⊥平面APC;(Ⅲ)若BC=4,AB=20,求三棱锥D—BCM的体积.114、已知正方体ABCD—A1B1C1D1,其棱长为2,O是底ABCD对角线的交点。求证:(1)C1O∥面AB1D1;(2)A1C⊥面AB1D1。(3)若M是CC1的中点,求证:平面AB1D1⊥平面MB1D1M5.如图,PA垂直于矩形ABCD所在的平面,AD=PA=2,CD=2,E、F分别是AB、PD的中点.(1)求证:AF∥平面PCE;(2)求证:平面PCE⊥平面PCD;(3)求四面体PEFC的体积.116.如图,已知在三棱柱AB

4、C-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AC=BC,M、N、P、Q分别是AA1、BB1、AB、B1C1的中点.(1)求证:平面PCC1⊥平面MNQ;(2)求证:PC1∥平面MNQ.7.如图,在棱长为2的正方体中,、分别为、的中点.(1)求证://平面;(2)求证:118.右图为一简单集合体,其底面ABCD为正方形,平面,,且=2.(1)画出该几何体的三视图;(2)求四棱锥B-CEPD的体积;(3)求证:平面.9.如图所示,四棱锥中,底面为正方形,平面,,,,分别为、、的中点.(1)求证:;(2)求证:;;(3)求三棱锥的

5、体积.113、解:(Ⅰ)由已知得,是ABP的中位线……………2分……………4分(Ⅱ)为正三角形,D为PB的中点,,…………………5分…………………6分又……………………7分又………………9分平面ABC⊥平面APC………………10分(Ⅲ)∵,是三棱锥M—DBC的高,且MD=…11分又在直角三角形PCB中,由PB=10,BC=4,可得PC=………12分于是=,………………………………………………13分=…………………………14分4、证明:(1)连结,设连结,是正方体是平行四边形且又分别是的中点,且是平行四边形面,面11面……

6、…………………………………5分(2)面又,同理可证,又面………………………………………9分(3)设B1D1的中点为N,则AN⊥B1D1,MN⊥B1D1,则(也可以通过定义证明二面角是直二面角)………14分5、.解:(1)证明:设G为PC的中点,连结FG,EG,∵F为PD的中点,E为AB的中点,∴FGCD,AECD∴FGAE,∴AF∥GE∵GE⊂平面PEC,∴AF∥平面PCE;(2)证明:∵PA=AD=2,∴AF⊥PD又∵PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴PA⊥CD,∵AD⊥CD,PA∩AD=A,∴CD⊥平面PAD

7、,∵AF⊂平面PAD,∴AF⊥CD.∵PD∩CD=D,∴AF⊥平面PCD,∴GE⊥平面PCD,∵GE⊂平面PEC,∴平面PCE⊥平面PCD;11(3)由(2)知,GE⊥平面PCD,所以EG为四面体PEFC的高,又GF∥CD,所以GF⊥PD,EG=AF=,GF=CD=,S△PCF=PD·GF=2.得四面体PEFC的体积V=S△PCF·EG=.6、证明:(1)∵AC=BC,P为AB的中点,∴AB⊥PC,又CC1∥AA1,AA1⊥平面ABC,∴CC1⊥平面ABC,∴CC1⊥AB,又∵CC1∩PC=C,∴AB⊥平面PCC1,由题

8、意知MN∥AB,故MN⊥平面PCC1,MN在平面MNQ内,∴平面PCC1⊥平面MNQ.(2)连接AC1、BC1,∵BC1∥NQ,AB∥MN,又BC1∩AB=B,∴平面ABC1∥平面MNQ,∵PC1在平面ABC1内,∴PC1∥平面MNQ.解:(1)证明:连接AF,则AF=2,DF=2,又AD=4,∴DF2+AF2=AD

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