问题7.2 立体几何中折叠问题-突破170分2016届高三数学复习提升秘籍

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1、突破170分之江苏高三数学复习提升秘籍问题二：立体几何中折叠问题立体几何中的折叠问题主要包含两大问题：平面图形的折叠与几何体的表面展开。把一个平面图形按照某种要求折起，转化为空间图形，进而研究图形在位置关系和数量关系上的变化，这就是折叠问题。把一个几何体的表面伸展为一个平面图形从而研究几何体表面上的距离问题，这就是几何体的表面展开问题。折叠与展开问题是立体几何的两个重要问题，这两种方式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现，展开与折叠问题就是一个由抽象到直观，由直观到抽象的过程。此类问题也是

2、历年高考命题的一大热点，主要包括两个方面：一是平面图形的折叠问题，多涉及到空间中的线面关系、体积的求解以及空间角、距离的求解等问题；二是几何体的表面展开问题，主要涉及到几何体的表面积以及几何体表面上的最短距离等.一、平面图形的折叠解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形，抓住两个关键点：不变的线线关系、不变的数量关系.不变的线线关系，尤其是平面图形中的线线平行、线线垂直关系是证明空间平行、垂直关系的起点和重要依据；不变的数量关系是求解几何体的数字特征，如几何体的表面积、体积、空间中的角

3、与距离等的重要依据.1.折叠后的形状判断【例1】如下图，在下列六个图形中，每个小四边形皆为全等的正方形，那么沿其正方形相邻边折叠，能够围成正方体的是_____________(要求：把你认为正确图形的序号都填上)①②③④⑤⑥【分析】根据平面图形的特征，想象平面图形折叠后的图形进行判断.21也可利用手中的纸片画出相应的图形进行折叠.【答案】①③⑥【解析】【牛刀小试】下图代表未折叠正方体的展开图，将其折叠起来，变成正方体后的图形是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】将平面展开图还原成正方体后，三个面内

4、的线段是平行的，故选B.2.折叠后的线面关系【例2】将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四边形ABCD(如图2)，则在空间四边形ABCD中，AD与BC的位置关系是(　　)图1　　　　　　　图2A．相交且垂直B．相交但不垂直C．异面且垂直D．异面但不垂直【答案】C【解析】在图1中的等腰直角三角形ABC中，斜边上的中线AD就是斜边上的高，则AD⊥BC，折叠后如图2，AD与BC变成异面直线，而原线段BC变成两条线段BD、21CD，这两条线段与AD垂直，即AD⊥BD，AD⊥CD，故AD

5、⊥平面BCD，所以AD⊥BC.【牛刀小试】将下面的平面图形（每个点都是正三角形的顶点或边的中点）沿虚线折成一个正四面体后，直线与是异面直线的是_____________.MNP②QMP①QNM③NPQMNP④Q【答案】①④【解析】213.折叠后几何体的数字特征折叠后几何体的数字特征包括线段长度、几何体的表面积与体积、空间角与距离等，设计问题综合、全面，也是高考命题的重点.解决此类问题的关键是准确确定折叠后几何体的结构特征以及平面图形折叠前后的数量关系之间的对应.【例3】（体积问题）如图所示，等腰的底

6、边，高，点是线段上异于点的动点，点在边上，且，现沿将折起到21的位置，使，记，表示四棱锥的体积．PEDFBCA（1）求的表达式；（2）当为何值时，取得最大值？【解析】【牛刀小试】【2016届河南省信阳高中高三上第八次大考】平行四边形ABCD中，·=0，沿BD将四边形折起成直二面角A一BD－C，且，则三棱锥A－BCD的外接球的表面积为____.【答案】【解析】【例4】（空间角问题）如左图,矩形中,,,、分别为、边上的点,且,,将沿折起至位置(如右图所示),连结、、,其中.(Ⅰ)求证:平面；(Ⅱ)求直线

7、与平面所成角的正弦值.21..ACDBEF图图ABCDPEF【解析】(Ⅰ)由翻折不变性可知,,,在中,,所以在图中,易得,在中,,所以又,平面,平面,所以平面.解法二图ABCDPEFHxyz解法一图ABCDPEF(Ⅱ)方法一:以为原点,建立空间直角坐标系如图所示,则,,,,所以,,,设平面的法向量为,则,即,解得21【牛刀小试】如图，边长为2的正方形ABCD，E,F分别是AB,BC的中点，将△AED，△DCF分别沿DE,DF折起，使A,C两点重合于。（1)求证：⊥EF;（2）求二面角的平面角的余弦值

8、.【解析】21方法2：在△BEF中，BE=BF=1，BE⊥BF，∴EF=,∵A/E=A/F=1，∴A/E2+A/F2=EF2∴A/E⊥A/F,所以以A/为坐标系的原点，A/E,A/D,A/F分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则A/（0,0,0），D(0，2，0),E(1，0，0),F(0，0，1)∴（-1,2,0），（-1,0,1），设平面DEF的法向量是，则●0，●0，∴，取=（2,1,2），又(0，2，0)是平面A/EF的法向量，21与夹角的余弦值是。所以二面