三角形全等之截长补短（讲义及答案）

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1、三角形全等之截长补短（讲义）Ø课前预习1.尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：（1）已知线段a，b（），作一条线段，使它等于a+b．（2）已知线段a，b（），作一条线段，使它等于a-b．2.想一想，证一证已知：如图，射线BM平分∠ABC，点P为射线BM上一点，PD⊥BC于点D，BD=AB+CD，过点P作PE⊥BA于点E．求证：△PAE≌△PCD．Ø知识点睛截长补短：题目中出现__________________________时，考虑截长补短；截长补短的作用是________________________________________

2、_______________________________________________．Ø精讲精练1.已知：如图，在△ABC中，∠1=∠2，∠B=2∠C．求证：AC=AB+BD．2.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，点E为AB边上一点，且DE平分∠ADC，CE平分∠BCD．求证：CD=AD+BC．1.已知：如图，在正方形ABCD中，AD=AB，∠B=∠D=∠BAD=90°，E，F分别为CD，BC边上的点，且∠EAF=45°，连接EF．求证：EF=BF+DE．1.已知：如图，在△ABC中，∠ABC=60°，△ABC的角平

3、分线AD，CE交于点O．求证：AC=AE+CD．1.已知：如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD交BD的延长线于点E．求证：CEBD．【参考答案】Ø课前预习1.略2.证明：如图∵BM平分∠ABC，PD⊥BC，PE⊥BA∴PE=PD，∠PEB=∠PDB=∠PDC=90°在Rt△PBE和Rt△PBD中，∴Rt△PBE≌Rt△PBD（HL）∴BE=BD∵BE=AB+AEBD=AB+CD∴AE=CD在△PAE和△PCD中∴△PAE≌△PCD（SAS）Ø知识点睛线段间的和差倍分；把几条线段间的数量关系转为两条线段

4、的等量关系．Ø精讲精练1.补短法：证明：如图，延长AB到E，使BE=BD，连接DE．∴∠E=∠3∵∠ABC是△BDE的一个外角∴∠ABC=∠E+∠3∴∠ABC=2∠E∵∠ABC=2∠C∴∠E=∠C在△ADE和△ADC中∴△ADE≌△ADC（AAS）∴AE=AC∴AC=AB+BE=AB+BD截长法：证明：如图，在AC上截取AF=AB，连接DF．在△ABD和△AFD中∴△ABD≌△AFD（SAS）∴∠B=∠AFD，BD=FD∵∠B=2∠C∴∠AFD=2∠C∵∠AFD是△DFC的一个外角∴∠AFD=∠C+∠FDC∴∠FDC=∠C∴DF=FC∴B

5、D=FC∴AC=AF+FC=AB+BD1.证明：如图，在DC上截取DF=DA，连接EF．∵DE平分∠ADC，CE平分∠BCD∴∠1=∠2，∠3=∠4在△ADE和△FDE中∴△ADE≌△FDE（SAS）∴∠A=∠DFE∵∠A=∠B=90°∴∠DFE=∠CFE=∠B=90°在△CFE和△CBE中∴△CEF≌△CBE（AAS）∴CF=CB∴CD=DF+FC=AD+BC1.证明：如图，延长FB到G，使BG=DE，连接AG．∵∠ABC=∠D=90°∴∠ABG=∠D=90°在△ABG和△ADE中∴△ABG≌△ADE（SAS）∴∠3=∠2，AG=AE∵

6、∠BAD=∠1+∠2+∠EAF=90°∠EAF=45°∴∠1+∠2=45°∴∠1+∠3=45°即：∠GAF=∠EAF=45°在△EAF和△GAF中∴△EAF≌△GAF（SAS）∴EF=GF∴EF=BG+BF=BF+DE2.证明：如图，在AC上截取AF=AE，连接OF．∵AD，CE分别是△ABC的角平分线∴∠1=∠2，∠3=∠4在△AEO和△AFO中∴△AEO≌△AFO（SAS）∴∠5=∠6在△ABC中，∠B=60°∴∠1+∠2+∠3+∠4=120°∴∠2+∠3=60°∵∠5是△AOC的一个外角∴∠5=∠2+∠3=60°∴∠8=∠5=60°

7、∠6=∠5=60°∠7=180°-∠5-∠6=60°∴∠7=∠8在△CFO和△CDO中∴△CFO≌△CDO（ASA）∴CD=CF∴AC=AF+CF=AE+CD1.证明：如图，延长CE交BA的延长线于F．∵CE⊥BD∴∠BEC=∠BEF=90°∵BD平分∠ABC∴∠1=∠2∴∠F=∠BCE∴BC=BF∴EF=EC=CF∵∠BAC=90°，∠BEC=90°∴∠1+∠4=90°，∠3+∠5=90°∵∠4=∠5∴∠1=∠3∵∠BAC=90°∴∠BAD=∠CAF=90°在△BAD和△CAF中∴△BAD≌△CAF（ASA）∴BD=CF∵CE=CF∴C

8、E=BD