全等三角形的经典模型(一)

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1、全等三角形的经典模型（一）3满分晋级三角形9级全等三角形的经典模型（二）三角形8级全等三角形的经典模型（一）三角形7级倍长中线与截长补短秋季班第四讲秋季班第三讲秋季班第二讲漫画释义作弊？知识互联网题型一：等腰直角三角形模型思路导航等腰直角三角形数学模型思路：⑴利用特殊边特殊角证题（AC=BC或）.如图1；⑵常见辅助线为作高，利用三线合一的性质解决问题.如图2；⑶补全为正方形.如图3，4.图1图2图3图4典题精练【例1】已知：如图所示，Rt△ABC中，AB=AC，，O为BC的中点，⑴写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的关系（不要求

2、证明）⑵如果点M、N分别在线段AC、AB上移动，且在移动中保持AN=CM.试判断△OMN的形状，并证明你的结论.⑶如果点M、N分别在线段CA、AB的延长线上移动，且在移动中保持AN=CM，试判断⑵中结论是否依然成立，如果是请给出证明．【解析】⑴OA=OB=OC⑵连接OA,∵OA=OCAN=CM∴△ANO≌△CMO∴ON=OM∴∴∴∴△OMN是等腰直角三角形⑶△ONM依然为等腰直角三角形，证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，O为BC中点∴∠BAO=∠OAC=∠ABC=∠ACB=45°，∴AO=BO=OC，∵在△ANO和△CMO中，∴△AN

3、O≌△CMO（SAS）∴ON=OM，∠AON=∠COM，又∵∠COM∠AOM=90°，∴△OMN为等腰直角三角形．【例2】两个全等的含，角的三角板和三角板，如图所示放置，三点在一条直线上，连接，取的中点，连接，．试判断的形状，并说明理由．【解析】是等腰直角三角形．证明：连接．由题意，得∴为等腰直角三角形.∵，∴．∴，∴≌．∴．又．∴，∴是等腰直角三角形．【例1】已知：如图，中，，，是的中点，于，交于，连接．求证：．【解析】证法一：如图，过点作于，交于．∵，，∴．∵，∴．∵，∴∵，∴．∴．在和中，∴．∴．在和中，∴．∴．证法二：如图，作交的

4、延长线于．∵，∴，∵，∴，∴．在和中，∴．∴，∵，∴．在和中，∴．∴∴．【例1】如图，等腰直角中，，为内部一点，满足，求证：．【解析】补全正方形，连接DP，易证是等边三角形，，，∴，，∴，∴．【探究对象】等腰直角三角形添补成正方形的几种常见题型在解有关等腰直角三角形中的一些问题，若遇到不易解决或解法比较复杂时，可将等腰直角三角形引辅助线转化成正方形，再利用正方形的一些性质来解，常常可以起到化难为易的效果，从而顺利地求解。例4为求角度的应用，其他应用探究如下：【探究一】证角等【备选1】如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，M为

5、AC中点，连结BM，作AD⊥BM交BC于点D，连结DM，求证:∠AMB=∠CMD．【解析】作等腰Rt△ABC关于BC对称的等腰Rt△BFC，延长AD交CF于点N，∵AN⊥BM，由正方形的性质，可得AN=BM，易证Rt△ABM≌Rt△CAN，∴∠AMB=∠CND，CN=AM，∵M为AC中点，∴CM=CN，∵∠1=∠2，可证得△CMD≌△CND，∴∠CND=∠CMD，∴∠AMB=∠CMD．【探究二】判定三角形形状【备选2】如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD=CE，AN⊥BD于点M，延长BD交NE的延长线于点F，试判定△D

6、EF的形状．【解析】作等腰Rt△ABC关于BC对称的等腰Rt△BHC，可知四边形ABHC为正方形，延长AN交HC于点K，∵AK⊥BD，可知AK=BD，易证:Rt△ABD≌Rt△CAK，∴∠ADB=∠CKN，CK=AD，∵AD=EC，∴CK=CE，易证△CKN≌△CEN，∴∠CKN=∠CEN，易证∠EDF=∠DEF，∴△DEF为等腰三角形．【探究三】利用等积变形求面积【备选3】如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC上一点，DE∥AC，DF∥AB，且BE=4，CF=3，求S矩形DFAE．【解析】作等腰Rt△ABC关于BC的对

7、称的等腰Rt△GCB，可知四边形ABGC为正方形，分别延长FD、ED交BG、CG于点N、M，可知DN=EB=4，DM=FC=3，由正方形对称性质，可知S矩形DFAE=S矩形DMGN=DM·DN=34=12．【探究四】求线段长【备选4】如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，∠BAC=45°，BD=3，CD=2，求AD的长．【分析】此题若用面积公式结合勾股定理再列方程组求解是可以的，但解法太繁琐，本题尽管已知条件不是等腰直角三角形，但∵∠BAC=45°，若分别以AB、AC为对称轴作Rt△ADB的对称直角三角形和Rt△ADC的对称直角三角形，这样

8、就出现两边相等且夹角为90°的图形，满足等腰直角三角形的条件，然后再引辅助线使之转化为正方形．【解析】以AB为轴作Rt△ADB的对称的Rt△AEB，再以AC为轴作Rt△ADC的对称的Rt△AF