排列组合及概率统计

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1、►►►第10讲排列组合及概率统计基础排列组合及概率统计基础考纲解析这类问题在各种考试中出现得都比较多，关键在于熟练，同时要注意审题，题意是可能设置陷阱的地方。对于这类问题，要掌握常用的方法，对于“在”与“不在”的问题，常常直接使用“直接法”或“排除法”，对特殊元素可优先考虑。排列组合及概率论部分的内容是比较重要的，因为它很容易和别的部分的知识结合起来，例如条件概率或一些概率分布很容易运用在可靠性计算及图、路径和一些相应的算法问题上，所以在复习中一定要灵活掌握，从原理出发，活学活用，能够根据例题将知识运用到别的方面上。资源链接本讲对应CIU视频资源：概率论及

2、数理统计.jbl。本讲内容10.1排列组合基础10.1.1排列的基本概念及实例从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素（被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。如果元素和顺序至少有一个不同。则叫做不同的排列。元素和顺序都相同的排列则叫做相同的排列。排列数的计算公式为（其中m≤n，m，nÎZ）。10.1（1）7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？解：问题可以看作7个元素的全排列——=5040。（2）7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？解：根据分步计数原理7×6×5×4×3×2×1=7！=504

3、0。（3）7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？解：问题可以看作余下的6个元素的全排列——=720。（4）7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？解：根据分步计数原理，第一步，甲、乙站在两端有种；第二步，余下的5名同学进行全排列有种，则共有=240种排列方法。（5）7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？解法一（直接法）：第一步，从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有种方法；第二步，从余下的5位同学中选5位进行排列（全排列）有种方法，所以一共有=2400种排列方法。对于相邻问题，

4、常采用“捆绑法”，即先绑后松，关键在于怎么选择绑定的对象。解法二：（排除法）若甲站在排头有种方法；若乙站在排尾有9►►►第10讲排列组合及概率统计基础种方法；若甲站在排头，且乙站在排尾则有种方法。所以甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有－＋=2400种。10.27位同学站成一排。（1）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？解：先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素（同学）一起进行全排列有种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有种方法。所以这样的排法一共有=1440种。（2）甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？解：方法同上

5、，一共有=720种。（3）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有种方法；将剩下的4个元素进行全排列有种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有种方法。所以这样的排法一共有=960种方法。解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，若丙站在排头或排尾有2种方法，所以丙不能站在排头和排尾的排法有种方法。解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一

6、共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有种方法，再将其余的5个元素进行全排列共有种方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所以这样的排法一共有=960种方法。10.1.2组合的基本概念及实例一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号表示。组合数的计算公式为：或（n，mÎN*，且m≤n）组合数还具有下面的性质：。一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下n-m个元素。因为

7、从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n-m个元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出n-m个元素的组合数，即：。在这里，主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想。注意利用组合数的这些性质，在使用中往往可以起到简化计算的效果。组合问题的关键在于分类，怎样对情况进行划分。注意这里的不均匀分组和全排列的问题。注：1．规定。2．等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标。3．此性质作用：当时，计算可变为计算，能够使运算简化。例如：===2002。9►►►第10讲排列组合及概率统计基础4．或。1

8、0.3一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球。（1）从口袋内取