恒成立、存在性问题(答案解析版)

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1、专业技术资料分享导数应用——“恒成立问题”练习1.已知函数．（I）求函数的单调递减区间；（II）若在上恒成立，求实数的取值范围；（III）过点作函数图像的切线，求切线方程解（Ⅰ）得函数的单调递减区间是；（Ⅱ）即设则当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；最小值实数的取值范围是；（Ⅲ）设切点则即设，当时是单调递增函数最多只有一个根，又切线方程为2.（1）求函数在点处处的切线方程；（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围；（3）已知.若存在,使得,求实数的取值范围。解：（1）（2）法一：原问题等价于对恒成立，

2、即令，由得WORD文档下载可编辑专业技术资料分享所以，即。法二：原问题等价于函数的图像恒在函数的图像的下方，临界情况是与相切。设函数的切点为，则，所以，又切点在，所以，所以，则。所以，对恒成立时，。（3）原问题等价于:存在，使得，则只需，即。由得，，则。由得所以，。，所以得，即即的范围是。（注意：，用了第（2）问结论）3.已知函数是定义在上的奇函数,当时,(其中e是自然界对数的底,)（1）求的解析式;WORD文档下载可编辑专业技术资料分享（2）设，求证：当时，且，恒成立；（3）是否存在实数a，使得当时，的

3、最小值是3？如果存在，求出实数a的值；如果不存在，请说明理由。解：（1）设，则，所以又因为是定义在上的奇函数，所以故函数的解析式为（2）证明：当且时，，设因为，所以当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增，所以又因为，所以当时，，此时单调递减，所以所以当时，即（3）解：假设存在实数，使得当时，有最小值是3，则（ⅰ）当，时，．在区间上单调递增，[来源:学&，不满足最小值是３（ⅱ）当，时，，在区间上单调递增，，也不满足最小值是３WORD文档下载可编辑专业技术资料分享（ⅲ）当，由于，则，故函数是上的增函数．所

4、以，解得（舍去）（ⅳ）当时，则当时，，此时函数是减函数；当时，，此时函数是增函数．所以，解得综上可知，存在实数，使得当时，有最小值34.已知函数，（1）求实数b的值；（2）在上恒成立，求实数的取值范围解：(Ⅰ)由得，，，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，又，，∴，即在上恒成立，设，，，∴.在上是增函数，在上是减函数，，∴.故实数的取值范围是.5.设函数（1）求函数的极值点;（2）当时，若对任意的，恒有，求的取值范围。WORD文档下载可编辑专业技术资料分享解：（1）∵，∴的定义域为，当时，，在上无极值点.当，令、随

5、的变化情况如下表：x+0-递增极大值递减从上表可以看出：当p>0时，f(x)有唯一极大值点.(2)由（1）可知，当p>0时，f(x)在处取极大值，此极大值也是最大值。要使f(x)0恒成立，只需0.解得p,故p的取值范围为。6.已知函数．（1）当时，函数的图像在点处的切线方程；（2）当时，解不等式；（3）当时,对,直线的图像下方.求整数的最大值.解：（1），当时．切线（2）（3）当时,直线的图像下方，得问题等价于对任意恒成立.当时，令，令，，WORD文档下载可编辑专业技术资料分享故在上是增函数由于所以存在，

6、使得．则；，即；知在递减，递增又，，所以=3．7.已知函数=，其中a>0.（Ⅰ）若a=1，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若在区间上，恒成立，求a的取值范围。解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=，f（2）=3；f’(x)=,f’(2)=6.所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9.（Ⅱ）f’(x)=.令f’(x)=0，解得x=0或x=.以下分两种情况讨论：（1）若，当x变化时，f’(x)，f（x）的变化情况如下表：X0f’(x)+0-f(x)极大值当等价于解不等

7、式组得-52，则.当x变化时，f’(x),f（x）的变化情况如下表：WORD文档下载可编辑专业技术资料分享X0f’(x)+0-0+f(x)极大值极小值当时，f（x）>0等价于即解不等式组得或.因此2

8、等式，整理为．（*）设，则（）．①当时，，又，所以，当时，，递增；当时，，递减．从而．故，恒成立．②当时，．WORD文档下载可编辑专业技术资料分享令，解得，则当时，；再令，解得，则当时，．取，则当时，．所以，当时，，即．这与“恒成立”矛盾．综上所述，．9.已知函数．(Ⅰ)讨论函数在定义域内的极值点的个数；(Ⅱ)若函数在处取得极值，且对,恒成立，求实数的取值范围。解：(Ⅰ)，当时，在上恒成立，函数在单调递减，∴在上没有极值点；当