指数函数及其性质

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1、第2课时　指数函数及其性质的应用1.理解指数函数的单调性与底数a的关系，能运用指数函数的单调性解决一些问题.1.指数函数单调性在比较大小，解不等式及求最值中的应用．(重点)1．函数y＝ax(a>0，且a≠1)的定义域是R，值域是________．若a>1，则当x＝0时，y__1；当x>0时，y>1；当x<0时，y__1.若00时，y<1，当x<0时，y__1.2．a>1时，函数y＝ax在R上是_______．0增函数减函数3．若

2、a>b>1，当x>0时，函数y＝ax图象在y＝bx图象的上方；当x<0时，函数y＝ax图象在y＝bx图象的下方；若1>a>b>0，当x>0时，函数y＝ax图象在y＝bx图象的上方；当x<0时，函数y＝ax图象在y＝bx图象的下方．函数y＝ax(a>0，且a≠1)和y＝a－x(a>0，且a≠1)的图象关于____对称．y轴复合函数y＝af(x)单调性的确定：当a>1时，单调区间与f(x)的单调区间_____；当0

3、析：要使函数有意义，则1－2x≥0，即2x≤1，∴x≤0.故选A.答案：A答案：A3．设23－2x>0.53x－4，则x的取值范围是________．解析：23－2x>0.53x－4⇒23－2x>24－3x⇒3－2x>4－3x⇒x>1.答案：{x

4、x>1}由题目可获取以下主要信息：①所给函数与指数函数有关；②定义域是使函数式有意义的自变量的取值集合，③值域是函数值的集合，依据定义域和函数的单调性求解.[题后感悟]对于y＝af(x)这类函数，(1)定义域是指只要使f(x)有意义的x的取值范围(2)值域问题，应分以下两步求解：①由定义域求

5、出u＝f(x)的值域；②利用指数函数y＝au的单调性求得此函数的值域．解答本题可以看成关于2x的一个二次函数，故可令t＝2x，利用换元法求值域.[解题过程]函数定义域为R.令2x＝t(t>0)，则y＝4x＋2x＋1＋1＝t2＋2t＋1＝(t＋1)2.∵t>0，∴t＋1>1，∴(t＋1)2>1，∴y>1，∴值域为{y

6、y>1，y∈R}．[题后感悟]如何求形如y＝b(ax)2＋c·ax＋d的值域？①换元，令t＝ax；②求t的范围，t∈D；③求二次函数y＝bt＋ct＋d，t∈D的值域．如图所示：(1)f(x－1)的图象：需将f(x)的图象向

7、右平移1个单位得f(x－1)的图象，如下图(2)－f(x)的图象：作f(x)的图象关于x轴对称的图象得－f(x)的图象，如图(1)(3)f(－x)的图象：作f(x)的图象关于y轴对称的图象得f(－x)的图象，如图(2)[题后感悟]利用熟悉的函数图象作图，主要运用图象的平移、对称等变换，平移需分清楚向何方向移，要移多少个单位，如(1)(2)；对称需分清对称轴是什么，如(3)(4)．利用复合函数的单调规律求之.[解题过程](1)设y＝au，u＝x2＋2x－3.由u＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4知，u在(－∞，－1]上为减函数，在[－1

8、，＋∞)上为增函数．根据y＝au的单调性，当a>1时，y关于u为增函数；当01时，原函数的增区间为[－1，＋∞)，减区间为(－∞，－1]；当00且a≠1)的函数的单调性？方法一：利用单调性定义比较y1＝af(x1)与y2＝af(x2)时，多用作商后与1比较．方法二：利用复合函数单调性：当a>1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相同；当0

9、＝f(x)的单调性相反．答案：A解析：(1)由2x－1≠0，得x≠0，∴函数定义域为{x

10、x≠0，x∈R}；(2)在定义域内任取x，则－x在定义域内1．y＝f(ax)型或y＝af(x)型的图象特征函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象与y＝a－x(a>0且a≠1)的图象关于y轴对称，y＝ax(a>0且a≠1)的图象与y＝－ax(a>0且a≠1)的图象关于x轴对称，函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象与y＝－a－x(a>0且a≠1)的图象关于坐标原点对称．2．y＝φ(ax)型或y＝af(x)型函数的单调规律研究形如y＝af(x)(a>0，

11、且a≠1)的函数的单调性，可以有如下结论：当a>1时，函数y＝af(x)的单调性与f(x)的单调性相同；当00，且a≠1)的函数