矢量分析与场论讲义ppt

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1、§1场的概念（Field）一、场的概念场是用空间位置函数来表征的。若对全空间或其中某一区域V中每一点M,都有一个数量(或矢量)与之对应,则称在V上确定了一个数量场(或矢量场).场都是矢量场。例如:温度场和密度场都是数量场,重力场和速度若场中物理量在各点处的对应值不随时间变化，就称为稳定场，否则，称为不稳定场。注引入或选择某种坐标系是为了便于通过数学方法来进行计算和研究它的性质.2.场的性质是它本身的属性,和坐标系的引进无关.场的特点：①分布于整个空间，看不见，摸不着，只能借助仪器进行观察测量，靠人脑去

2、想像其分布情况；②具有客观物质的一切特征，有质量、动量和能量。3、描述方法①函数表示法：借助一定坐标系下的函数来表示场的分布。对矢量场，用；数量场常用表述。②几何表示法，也叫图示法：用能反映场性质和分布的一族曲线或曲面表示场的分布特征，分别称为矢量线（像电力线、磁力线）；等值面（像等温面，等位面）。二、数量场、矢量场的描述方法以下讨论中总是设它对每个变量都有一阶连续偏导数。因此给定了某个数量场就等于给定了一个数性函数在引进了直角坐标系后,点M的位置可由坐标确定。同理,每个矢量场都与某个矢性函数并假定它

3、们有一阶连续偏导数。相对应.这里为所定义区域上的数性函数,数量场的等值面（线）：是由场中使u取相同数值的点所组成的曲面。（c值不同对应不同等值面）等值面其方程为等值线在某一高度上沿什么方向高度变化最快？直观表示数量u在场中的分布。以温度场为例：热源等温面等值面举例可以看出：数量场的函数是单值函数，各等值面是互不相交的。矢量场的矢量线：矢量线上每一点处曲线与对应于该点的矢量相切。直观描述矢量在场中的分布情况。2.矢量线连续分布，一般互不相交。图2矢量线ArMxyzol观察：1.在曲线上的每一点M处，场的

4、矢量都位于该点处的切线上（如图所示），称其为矢量线。例：静电场电力线、磁场的磁力线、流速场中的流线等。MA(r)drrO矢量线的微分方程：M点位置矢量线l微分场矢量l矢量线在这点的切线的方向余弦和矢量线上的成比例，从而得到矢量线应满足的微分方程在场矢量不为零的条件下，由线性微分方程组的理论可知所考虑的整个场被矢量线所填满，而通过场中每一点有一条且只有一条这样的曲线，且过不同的点的两条矢量线没有公共点。例2求矢量场的矢量线方程。【例1】设点电荷q位于坐标原点，它在空间一点M(x,y,z)处所产生的电场强

5、度矢量为式中，q、ε均为常数，r=xi+yj+zk为M点的位置矢量。求E的矢量线方程并画出矢量线图。解题过程：图点电荷的电场矢量线(P27)2、方向导数方向导数是数性函数在一点处沿任意方向对距离的变化率，它的数值与所取的方向有关，一般来说，在不同的方向上的值是不同的，但它并不是矢量。如图所示，为场中的任意方向，M0是这个方向线上给定的一点，M为同一线上邻近的一点。M0M为M0和M之间的距离，从M0沿到M的增量为若下列极限存在，则该极限值记作，称之为数量场在M0处沿的方向导数。例题例1求函数方向的方向导

6、数。例3设例4求数量场方向的方向导数。3、梯度由于从一点出发，有无穷多个方向，即数量场沿某一确定方向取得在该点的最大方向导数，则可引进梯度概念。在一点处的方向导数有无穷多个，其中，若过一点梯度：（场在某点的梯度为一矢量）它的大小等于所有方向导数的最大值，它的方向为取得最大值的方向。梯度(Gradient)梯度、方向导数与等值面当,即与方向一致时,为最大。方向导数与梯度的关系：是等值面上p1点法线方向单位矢量。它指向增长的方向。表示过p2点的任一方向。易见，p1p0p2等值面等值面θ所以即p1p0p2等

7、值面等值面θ该式表明：即沿某一方向的方向导数就是梯度在该方向上的投影。梯度的概念重要性在于，它用来表征数量场在空间各点沿不同方向变化快慢的程度。4、算符（哈密顿算符）算符既具有微分性质又具有方向性质。在任意方向上移动线元距离dl，的增量称为方向微分，即显然，任意两点值差为总结：数量场梯度的性质（1）数量场沿任一方向的方向导数等于梯度在该方向的投影。（2）数量场在任一点的梯度垂直于过该点的等值面，且指向场增大的一方。（注意：等值面的法向有两个）（3）一个数量场的梯度（一旦）确定，则该数量场也随之确定，最

8、多相差一个任意常数标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）数量场沿任一方向的方向导数等于梯度在该方向的投影。例1三维高度场的梯度图三维高度场的梯度例2电位场的梯度图电位场的梯度梯度、方向导数与等值面高度场的梯度与过该点的等位线垂直；数值等于该点的最大方向导数；补充：梯度的物理意义数量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数;梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向.梯度的大小为该点数量函数的最大变化率，