初中数学动态几何问题

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时间:2018-10-24

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1、`中考数学专题动态几何问题第一部分真题精讲【例1】如图,在梯形中,,,,,梯形的高为.动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动;动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动.设运动的时间为(秒).(1)当时,求的值;(2)试探究:为何值时,为等腰三角形.【思路分析1】本题作为密云卷压轴题,自然有一定难度,题目中出现了两个动点,很多同学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题,首先就是要找谁在动,谁没在动,通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目来说,都有一个由动转静的瞬间,

2、就本题而言,M,N是在动,意味着BM,MC以及DN,NC都是变化的。但是我们发现,和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC长度都是给定的,而且动态条件之间也是有关系的。所以当题中设定MN//AB时,就变成了一个静止问题。由此,从这些条件出发,列出方程,自然得出结果。【解析】解:(1)由题意知,当、运动到秒时,如图①,过作交于点,则四边形是平行四边形.∵,.∴.(根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法,成功将MN放在三角形内,将动态问题转化成平行时候的静态问题)∴.(这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键)∴

3、.解得.【思路分析2】第二问失分也是最严重的,很多同学看到等腰三角形,理所当然以为是MN=NC即可,于是就漏掉了MN=MC,MC=CN这两种情况。在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形,一定不要忘记分类讨论的思想,两腰一底一个都不能少。具体分类以后,就成为了较为简单的解三角形问题,于是可以轻松求解【解析】(2)分三种情况讨论:①当时,如图②作交于,则有即.```(利用等腰三角形底边高也是底边中线的性质)∵,∴,∴,解得.②当时,如图③,过作于H.则,∴.∴.③当时,则..综上所述,当、或时,为等腰三角形.【例

4、2】在△ABC中,∠ACB=45º.点D(与点B、C不重合)为射线BC上一动点,连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.(1)如果AB=AC.如图①,且点D在线段BC上运动.试判断线段CF与BD之间的位置关系,并证明你的结论.(2)如果AB≠AC,如图②,且点D在线段BC上运动.(1)中结论是否成立,为什么?(3)若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P,设AC=,,CD=,求线段CP的长.(用含的式子表示)```【思路分析1】本题和上题有所不同,上一题会给出一个条件使得动点静

5、止,而本题并未给出那个“静止点”,所以需要我们去分析由D运动产生的变化图形当中,什么条件是不动的。由题我们发现,正方形中四条边的垂直关系是不动的,于是利用角度的互余关系进行传递,就可以得解。【解析】:(1)结论:CF与BD位置关系是垂直;证明如下:AB=AC,∠ACB=45º,∴∠ABC=45º.由正方形ADEF得AD=AF,∵∠DAF=∠BAC=90º,∴∠DAB=∠FAC,∴△DAB≌△FAC,∴∠ACF=∠ABD.∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90º.即CF⊥BD.【思路分析2】这一问是典型的从特殊到一

6、般的问法,那么思路很简单,就是从一般中构筑一个特殊的条件就行,于是我们和上题一样找AC的垂线,就可以变成第一问的条件,然后一样求解。(2)CF⊥BD.(1)中结论成立.理由是:过点A作AG⊥AC交BC于点G,∴AC=AG可证:△GAD≌△CAF∴∠ACF=∠AGD=45º∠BCF=∠ACB+∠ACF=90º.即CF⊥BD【思路分析3】这一问有点棘手,D在BC之间运动和它在BC延长线上运动时的位置是不一样的,所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是4+X还是4-X。分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出C

7、P.(3)过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q,①点D在线段BC上运动时,∵∠BCA=45º,可求出AQ=CQ=4.∴DQ=4-x,易证△AQD∽△DCP,∴,∴,.②点D在线段BC延长线上运动时,∵∠BCA=45º,可求出AQ=CQ=4,∴DQ=4+x.过A作交CB延长线于点G,则.CF⊥BD,△AQD∽△DCP,∴,∴,.【例3】已知如图,在梯形中,点是的中点,是等边三角形.```(1)求证:梯形是等腰梯形;(2)动点、分别在线段和上运动,且保持不变.设求与的函数关系式;ADCBPMQ60°(3)在(2)

8、中,当取最小值时,判断的形状,并说明理由.【思路分析1】本题有一点综合题的意味,但是对二次函数要求不算太高,重点还是在考察几何方面。第一问纯静态问题,自不必说,只要证两边的三角形全等就可以了。第二问和例1一样是双动点问题,所以就需要研究在P,Q运动过程中什么东西是不变的。题目给定∠MPQ=60°,这个度数的意义在哪里?其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来.因为最终求两条线

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