初中数学竞赛辅导讲座19讲全套

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1、第一讲有理数一、有理数的概念及分类。二、有理数的计算：1、善于观察数字特征；2、灵活运用运算法则；3、掌握常用运算技巧（凑整法、分拆法等）。三、例题示范1、数轴与大小例1、已知数轴上有A、B两点，A、B之间的距离为1，点A与原点O的距离为3，那么满足条件的点B与原点O的距离之和等于多少？满足条件的点B有多少个？例2、将这四个数按由小到大的顺序，用“<”连结起来。提示1：四个数都加上1不改变大小顺序；提示2：先考虑其相反数的大小顺序；提示3：考虑其倒数的大小顺序。例3、观察图中的数轴，用字母a、b、c依次表示点A

2、、B、C对应的数。试确定三个数的大小关系。分析：由点B在A右边，知b-a>0，而A、B都在原点左边，故ab>0,又c>1>0,故要比较的大小关系，只要比较分母的大小关系。例4、在有理数a与b(b>a)之间找出无数个有理数。提示：P=（n为大于是的自然数）注：P的表示方法不是唯一的。2、符号和括号在代数运算中，添上（或去掉）括号可以改变运算的次序，从而使复杂的问题变得简单。例5、在数1、2、3、…、1990前添上“+”和“—”并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？提示：造零：n-(n+1)-(n+2)+(n+3

3、)=0注：造零的基本技巧：两个相反数的代数和为零。3、算对与算巧例6、计算-1-2-3-…-2000-2001-2002提示：1、逆序相加法。2、求和公式：S=(首项+末项)´项数¸2。-38-例1、计算1+2-3-4+5+6-7-8+9+…-2000+2001+2002提示：仿例5，造零。结论：2003。例2、计算提示1：凑整法，并运用技巧：199…9=10n+99…9，99…9=10n-1。例3、计算提示：字母代数，整体化：令，则例4、计算（1）；（2）提示：裂项相消。常用裂项关系式：（1）；（2）；（3）

4、；（4）。例11计算（n为自然数）例12、计算1+2+22+23+…+22000提示：1、裂项相消：2n=2n+1-2n；2、错项相减：令S=1+2+22+23+…+22000，则S=2S-S=22001-1。例13、比较与2的大小。提示：错项相减：计算。第二讲绝对值一、知识要点1、绝对值的代数意义；2、绝对值的几何意义：（1）

5、a

6、、（2）

7、a-b

8、；3、绝对值的性质：（1）

9、-a

10、=

11、a

12、,

13、a

14、³0,

15、a

16、³a；（2）

17、a

18、2=

19、a2

20、=a2；-38-（3）

21、ab

22、=

23、a

24、

25、b

26、；（4）（b¹0）；4、绝

27、对值方程：（1）最简单的绝对值方程

28、x

29、=a的解：（2）解题方法：换元法，分类讨论法。二、绝对值问题解题关键：（1）去掉绝对值符号；（2）运用性质；（3）分类讨论。三、例题示范例1已知a<0，化简

30、2a-

31、a

32、

33、。提示：多重绝对值符号的处理，从内向外逐步化简。例2已知

34、a

35、=5，

36、b

37、=3，且

38、a-b

39、=b-a，则a+b=，满足条件的a有几个？例3已知a、b、c在数轴上表示的数如图，化简：

40、b+c

41、-

42、b-a

43、-

44、a-c

45、-

46、c-b

47、+

48、b

49、+

50、-2a

51、。例4已知a、b、c是有理数，且a+b+c=0，abc>0

52、，求的值。注：对于轮换对称式，可通过假设使问题简化。例5已知：例6已知，化简：m=

53、x+1

54、-

55、x+2

56、+

57、x+3

58、-

59、x+4

60、。例7已知

61、x+5

62、+

63、x-2

64、=7，求x的取值范围。提示：1、根轴法；2、几何法。例8是否存在数x,使

65、x+3

66、-

67、x-2

68、>7。提示：1、根轴法；2、几何法。-38-例9m为有理数，求

69、m-2

70、+

71、m-4

72、+

73、m-6

74、+

75、m-8

76、的最小值。提示：结合几何图形，就m所处的四种位置讨论。结论：最小值为8。例10（北京市1989年高一数学竞赛题）设x是实数，且f（x）=

77、x+1

78、+

79、x+

80、2

81、+

82、x+3

83、+

84、x+4

85、+

86、x+5

87、.则f（x）的最小值等于___6_______.例11（1986年扬州初一竞赛题）设T=

88、x-p

89、+

90、x-15

91、+

92、x-p-15

93、，其中0＜p＜15.对于满足p≤x≤15的x的来说，T的最小值是多少？解由已知条件可得：T=（x-p）+（15-x）+（p+15-x）=30-x.∵当p≤x≤15时，上式中在x取最大值时T最小；当x=15时，T=30-15=15，故T的最小值是15.例12  若两数绝对值之和等于绝对值之积，且这两数都不等于0.试证这两个数都不在-1与-之间.证

94、 设两数为a、b，则

95、a

96、+

97、b

98、=

99、a

100、

101、b

102、.∴

103、b

104、=

105、a

106、

107、b

108、-

109、a

110、=

111、a

112、（

113、b

114、-1）.∵ab≠0，∴

115、a

116、＞0，

117、b

118、＞0.∴

119、b

120、-1=＞0，∴

121、b

122、＞1.同理可证

123、a

124、＞1.∴a、b都不在-1与1之间.例13某城镇沿环形路有五所小学，依次为一小、二小、三小、四小、五小，它们分别有电脑15、7、11、3、14台，现在为使各校电脑数相等，各调几台给邻校：一小给二小、二