矩阵理论小论文

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1、矩阵理论文学号：学院:物理电子学院姓名：矩阵理论3班矩阵理论在信号系统中的应用摘要：在20世纪50年代蓬勃兴起的航天技术的推动下，现代控制理论在上世纪60年代开始形成并得到了迅速的发展。现代控制理论的重要标志和基础就是状态空间方法。现代控制理论用状态空间法描述输入、状态、输出等各种变量间的因果关系。不但反映系统输入与输出的外部特性，而且揭示了系统内部的结果特性，可以研究更复杂而优良的控制算法。现代控制理论及使用于单变量控制系统，有适用于多变量控制系统，既可以用于线性定常系统，又可以用于线性时变系统，还可用于复杂的非线性系统。本文主要介绍了连续时间线性时不变系统零输入响应运

2、动分析，如何利用数学模型，求解线性定常系统的零输入响应问题。是矩阵理论中约当标准形和对角线标准形在线性系统理论中的一个很典型的应用。状态与状态变量：系统在时间域中运动信息的集合称为状态。确定系统状态的一组独立(数0最少的)变景称为状态变景。它足能完整地确定地描述系统的吋间行为的最少的-•组变景。状态向量：如果ri个状态变量用巧卜)、x2(Z).表示，并把这些状态变量看做是向量X(t)的分量,则向量X(t)称为状态向量,x,⑴功)或者X7=X2⑴…'⑴]状态空间：以状态变量x2(r)A为坐标轴构成的n维空间。状态方程：描述系统的状态变景之间及其和系统输入景之间关系的一阶微分

3、方程组线性系统：满足叠加原理的系统具有线性特性零输入响应：若输入的激励信号为零，仅有储能元件的初始储能所激发的响应，称为零输入响应。一、线性系统状态方程：吋变：x=Ax(t)+B«(t)x(z0)=x0te[t()ta]时不变：x=Ax(t)+Bw(t)x(O)=xQZ>0A：表示系统内部状态关系的系数矩阵B：表示输入对状态作用的输入矩阵从数学的角度上，就是相对于给定的初绐状态xO和外输入u(t)，来求解状态方程的解，即系统响应。解的存在性和唯一条件如果系统A、B的所育元在时间定义区间匕上均为t的实值连续函数，而输入u(t)的元在时间定义区间fr。上是连续实函数，则其状态

4、方程的解X(t)存在且唯一。二、连续时间线性时不变系统零输入响应运动分析给定线性定常系统的状态方程和初始值：x=Axx(0)=x0t>0(1)其中x为维状态向量，A为/7xn常阵定义nxn的矩阵函数eA,=/+Az+^A2/2+•••=玄士W人=0由(1)所描述的线性定常系统的零输入响应的表达式为：^SO=eAtxQt>0(1)如果将t取为某个固定值，那么零输入响应&/Z),即为状态空间中由初始状态经线性变换^所导岀的一个变换点。因此系统的自由运动就是由初态&出发，并由的芥吋刻的变换点所组成的一条轨迹。(2)自由运动轨迹的形态，即零输入响应形态，是由矩阵指数函数^所唯一地

5、决定。(3)如果当Z40吋，自由运动轨迹最终趋向于系统的T衡状态x=0,则称系统是渐近稳定的。线性定常系统渐近稳定充分必要条件为：limeA/=0/—>oo四、矩阵指数函数的性质:性质1性质2性质3性质4性质5性质6YimeAl=I即eA()=It->0令沒nr力W个自变量，则必成立A(/+r)总是非奇异的，且其逆为：W=e_Af设食常阵A和F，如果A和F是可交换的，即AF=E4,则必成立eFte(A+F)r^对f的导数为：^eAr=AeAr=eAlA对给定方阵A，必成立性质8a22nn则有:Ate、1:性质9若A经过非奇异变换后，变为约当标准形人即:冬10T-lAT=J

6、=0式巾冬为A的n重特征值，T为变换阵nxn（/卜1）!it2（'卜2）!则冇：e（T~'AT）t=eTl=e^nx/t性质10若A有两个共轭复数特征值人2=5±7瓜BP：则有:eAt=eaCosGitSinGJt-sin做CosGJt综上讨知，求解问题的关键，就是已知矩阵A,如何求解矩阵指数函数eAt的问题五、下面介绍一的计算方法1.无穷级数法（定义法）根据定义直接计算辞职无穷级数ooeAt=I+At+^A2t-}--^Aktk4-=A=02.拉普拉斯变换法3.标准形法（特征值法）根据矩阵指数函数，的性质，可知eAt=Te（T~'AT）lT~'式屮r不非奇异变换阵.（1

7、）对角线标准形A阵具有n个互异特征值為（，•=0，1，…，n）例：已知系统矩阵试用对角线标准形求01-1A=-6-116-6-115解:求A的特征值

8、/1/—a

9、=A

10、=_1A-,求A的变换矩阵，得：-1乂+1111-21-62-5(2+1)(2+2)(2+3)=0-3三个互异特征值•1121"y35.2-2'p=012P-'=-6-86123_3223•1121"3"352eAt=PP'[=012e-2t一6一8e知123_e-3t392■-3广+e_3r52e_'-4e_2/-2e~r+3e~2t+e~3r-6f+6广3e