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《三角形四心及向量》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、WORD文档可编辑三角形“四心”的向量性质及其应用一、三角形的重心的向量表示及应用（中线交点）命题一：已知是不共线的三点，是内一点，若．则是的重心．命题二：点是三角形的重心则变式：已知分别为的边的中点．则．变式引申：如图4，平行四边形的中心为，为该平面上任意一点，则．二、三角形的外心的向量表示及应用(外接圆圆心，边中垂线交点)命题二：已知是内一点，满足，则点为△ABC的外心。三、三角形的垂心的向量表示及应用：（高线交点）例1：已知是内一点，满足，则点G为垂心。变式：若H为△ABC所在平面内一点，且则点H是△ABC的垂心四、三
2、角形的内心的向量表示及应用（内角平分线交点，内切圆圆心）命题四：O是内心的充要条件是0)
3、CB
4、CB
5、CA
6、CA(OC)
7、BC
8、BC
9、BA
10、BA(OB)ACAC
11、AB
12、AB(OA=-×=-×=-×变式1：如果记的单位向量为，则O是内心的充要条件是变式2：如果记的单位向量为，则O是内心的充要条件也可以是。例1（2003江苏）已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，满足技术资料专业分享WORD文档可编辑，，则P的轨迹一定通过△ABC的内心。例2、已知P是非等边△ABC外接圆上任意一点，问当P位于何处时，PA2+P
13、B2+PC2取得最大值和最小值。例3.已知O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足,则动点P的轨迹一定通过△ABC的（D）A.外心B.内心C重心D垂心变形：（1）C（2）C（3）A例4：点O在△ABC内部且满足,则△ABC面积与凹四边形ABOC的面积之比（C）A0B3/2C5/4D4/3变形引申：，求△ABC面积与凹四边形ABOC的面积之比（）例2（03年江苏卷）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心（1）（05年
14、全国卷Ⅰ理）的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m=；（2）（05年全国卷I文）点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，则点O是的（）A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点技术资料专业分享WORD文档可编辑C．三条中线的交点D．三条高的交点（3）(05年湖南卷文)P是△ABC所在平面上一点，若==，则P是△ABC的（ ） A．外心 B．内心 C．重心D．垂心（06陕西理）已知非零向量与满足(+)·=0且·=,则△ABC为()A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．等
15、边三角形3．以“各种运算的几何意义”为代表的灵活运用阶段（05浙江卷）已知向量≠，
16、
17、＝1，对任意t∈R，恒有
18、－t
19、≥
20、－
21、，则（C）(A)⊥(B)⊥(－)(C)⊥(－)(D)(＋)⊥(－)例3．（06湖南理）如图1,,点在由射线、线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且,则的取值范围是；当时,的取值范围是.（2）（07陕西理）如图4，平面内有三个向量、、，其中与的夹角为，与的夹角为，且，．若，则的值为 ．例4．（07全国Ⅱ）设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若技术资料专业分享WORD文档可编辑，则（）A．
22、9B．6C．4D．307重庆理）如图5，在四边形中，，，，则的值为（ ）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．（2007江西卷）15．如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则的值为．2009年高考中的向量选择题考查应用：1.（2009广东卷理）一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知，成角，且，的大小分别为2和4，则的大小为A.6B.2C.D.【解析】，所以，选D.2.（2009浙江卷理）设向量，满足：，，．以，，的模为边长构成三角形，则它的边与半径为的圆的公共点个数最多为()w.w.w.k.
23、s.5.u.c.o.mA．B．C．D．答案：C【解析】如果知道此三角形有一个半径为1的内切圆，本题立解．3.（2009陕西卷文）在中,M是BC的中点，AM=1,点P在AM上且满足学技术资料专业分享WORD文档可编辑,则科网等于（A）（B）（C）(D)答案:A.解析:由知,为的重心,根据向量的加法,则=故选A4.（2009全国卷Ⅰ理）设、、是单位向量，且·＝0，则的最小值为(D)（A）（B）（C）(D)解:是单位向量故选D.对照：（08浙江卷9）已知，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足,则的最大值是C（A）1（B）2
24、（C）（D）5.（2009宁夏海南卷理）已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的（A）重心外心垂心（B）重心外心内心（C）外心重心垂心（D）外心重心内心（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）填空题7.（2009安徽卷理）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹
