第05讲 静电场(3)

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1、第5讲静电场（3）本节内容：1，电容与分布电容2，静电场的能量3，电场力一，电容由物理学得知，平板电容器正极板上携带的电量q与极板间的电位差U的比值是一个常数，此常数称为平板电容器的电容，即电容为电容的单位F（法拉）太大。例如半径大如地球的弧立导体的电容只有。实际中，通常取mF（微法）及pF（皮法）作为电容单位。电容与导体的带电情况无关。（∵，而与成正比）一个孤立的导体可认为是它与无穷远处的导体构成的一个特殊的电容器。电容的求法通常遵循以下步骤：1.假设两导体上所带电荷，并根据实际情况求出电荷分布。2.由电荷分布求出电场强度，进

2、而得出两导体电位差3.由电容定义求出电容。[例]平行双导线单位长电容（）解：∵，可以为为轴线上的线电荷。由高斯定理：在轴上，，∴∴[例]同轴线单位长电容。解：二，分布电容对于多导体之间的电容计算，需要引入部分电容概念。多导体系统中，每个导体的电位不仅与导体本身电荷有关，同时还与其他导体上的电荷有关，因为周围导体上电荷的存在必然影响周围空间静电场的分布，而多导体的电场是由它们共同产生的。q1q3qnq2假定所要讨论的多导体系统是静电独立的，即系统的电场分布只与系统内各带电导体的形状、相互位置和电介质的分布有关，而与系统外的带电导体

3、无关，并且所有电位移通量全部从系统内的带电导体发出又全部终止于系统内的带电导体。考察n＋1导体构成的静电独立系统，其中之一通常指大地或无穷远。根据静电独立概念，所有导体带电量总和等于零，即：q0＋q1＋q2＋…＋qn＝0(a)四导体系统；(b)导体部分电容；(c)导体上电荷分布及电力线已知当系统中的电介质为线性介质时，系统内任一导体的电位不但与其自身所带电量成正比，也与其他各导体所带电量成正比。选0号导体——大地为电位参考点，应用叠加原理，可求得多导体系统中每个导体上所带电量与它们之间电位差的关系，即式中Uij＝fi－fj(i＝

4、1，2，3；j＝1，2，3；且i≠j)为导体i对导体j的电位差，当j＝0时，Ui0(i＝1，2，3)表示导体i对0号导体的电压；Cij(i＝1，2，3；j＝1，2，3；且i≠j)表示导体i与导体j之间的部分电容，称为互部分电容，Ci0(i＝1，2，3)表示导体i与0号导体之间的部分电容，称为导体i的自部分电容。　　导体1上的电荷由三部分组成：　　q1＝q10＋q12＋q13其中，q10＝C10U10，q12＝C12U12，q13＝C13U13分别为导体1与导体0、导体2及导体3相作用的部分电荷量，它们分别等于部分电容与相应电压的

5、乘积。同理，有q2＝q21＋q20＋q23其中，q21＝C21U21，q20＝C20U20，q23＝C23U23。q3＝q31＋q32＋q30其中，q31＝C31U31，q32＝C32U32，q30＝C30U30。部分电容具有如下性质：　　(1)静电独立系统中，n＋1个导体有n(n＋1)2个部分电容。　　(2)部分电容Cij均为正值，且Cij＝Cji，qij＝－qji。　　(3)部分电容将场与路联系起来，应用场的知识求得电容，就可以得到其等效电路。三静电场的能量带电粒子在电场中受力而运动时，电场力对其做功，这说明电场中储存着能量

6、。静电场的能量是在电场建立过程中由外电源供给的。3.1带电导体系的静电能对于静电场，当介质为线性时，系统的总能量只取决于最终的带电状态，而与达到这一状态的充电过程无关。因此，我们可以选择一种便于计算的充电方式来计算系统的静电能。为此假设：1º开始时每个带电体的电量均为0；2º各带电体的电量都以相同的规律增长，即当某带电体的电量达到其最终值的倍时，其它带电体的电量也达到各自最终值的倍。假设某一时刻第i个带电体的电量为，电位为。此时，当其电量增加时，需外力做功。当所有带电体的带电量都增加时，外力做功为：故整个充电过程中（即从0增至1

7、）电场的储能为：点电荷是一种特殊的带电体，以上结论对点电荷系仍成立。由以上结论可得分布电荷电场的静电能：体电荷：面电荷：3.2电场中的能量密度以上各式表明了电场的总能量，但没有表明能量在电场中的分布情况。观察以上各式很容易产生一种误判，即能量分布在电荷所在区域。实际上，能量是以一定的密度分布在整个电场存在的区域。为说明这个问题，研究如图所示的一般情况，在区域内有体密度为的电荷，同时还有个带电导体，电荷面密度为，则电场能量为：（之外，可扩展到无穷大区域）∵∴而时，，，∴∴（焦耳）（J）注意此处的V为存在电场的整个空间，而非电荷分布

8、空间。既然在体积V内积分等于，因此即为能量密度，用表示，即：（焦耳/米³）（J/m³）[例]半径为a的导体球带电Q，其外套有同心介质壳，外电径为b，求电场能量。解法一：由带电体系的电能公式由高斯定理：介质中：，介质外：，∴导体球电位∴解法二：由能量密度概念：四，