初中数学竞赛常用解题方法代数

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1、智浪教育—普惠英才文库初中数学竞赛常用解题方法(代数)一、配方法例1、化简.练习:若,试求x+z与y的关系。二、非负数法例2、在实数范围内解方程.三、构造法(1)构造多项式例3、三个整数a、b、c的和是6的倍数.,那么它们的立方和被6除,得到的余数是( )(A)0 (B)2 (C)3 (D)不确定的(2)构造有理化因式例4、 已知.则______。(3)构造对偶式例5、 已知是方程的两根,则的值是______。(4)构造递推式例6、 实数a、b、x、y满足,,,.求的值______。(5)构造几何图形例7、(构造对称图形)已知a、b是正数,且a+b=2.求的最小值______。练习:

2、(构造矩形)若a,b均为正数,且,,是一个三角形的三条边的长,那么这个三角形的面积等于___________。四、合成法例8、若满足方程组6智浪教育—普惠英才文库确定的值。一、比较法(差值比较法、比值比较法、恒等比较法)例9、71427和19的积被7除,余数是几?练习:设,求证:.二、因式分解法(提取公因式法、公式法、十字相乘法)例10、设n是整数,证明数为整数,且它是3的倍数。练习:证明能被1984整除。三、换元法(用新的变量代换原来的变量)例11、解方程练习:解方程.四、过度参数法(常用于列方程解应用题)例12、一商人进货价便宜8%,售价保持不变,那么他的利润(按进货价而定)可由

3、目前的增加到,x等于多少?五、判别式法(判定一元二次方程的根的性质)例13、求使为整数的一切实数x.练习:已知是实数,且6智浪教育—普惠英才文库求证:.一、韦达法(韦达定理:)例14:二、共轭根式法(设A使含有根式的表达式,若存在另一个不恒等于零的表达式B,使乘积AB不含根式,则称B为A的共轭根式)例11、设a,b分别表示的整数部分与小数部分,求的值为______。练习:求不超过的值的最大整数为______。三、反证法例12、已知a,b,c为实数,设证明:A,B,C中至少有一个大于零。练习:命题“如果a,b都是无理数,那么也是无理数”是否正确,如果正确,试给予证明;如果不正确,试说明

4、理由.代数常用的四种解题方法数学离不开思维。学习效果的大小,取决于思维活动的发展与思维能力的发挥。而思维方法是思维的钥匙,有了科学的思维就能从总体上把握事物的本质联系。从而,有效地提高发现问题和解决问题的能力。很多学生天天做练习,但成绩就是不理想。为什么呢?主要原因就是没有吃透教材的基本原理,就是没有掌握解题的科学方法。掌握方法,是攻克难题的有力武器,只有掌握方法,才能触类旁通,举一反三。不管遇到什么难题,都能得心应手,迎刃而解。那么在初中代数中有那些常用的解题思维方法呢?一、待定系数法用一个或多个字母来表示与解答有关的未知数,这些字母就叫待定系数法。待定系数法是一种最基本的数学方法

5、,这个方法多用于多项式运算、方程和函数方面较多。例如:例1试用关于(x-1)的各次幂表示多项式。6智浪教育—普惠英才文库解:设。因为上式是恒等式,所以不论取什么数,两边都应相等,据此可设,代入上式得,,代入上式得,代入上式得联立上面三个式子解得∴。这道例题在求待定系数时运用了特殊值法。要尽量减少待定系数的个数,比如可以断定的系数是2,就没有必要再将项的系数设为待定系数了。例2根据二次函数的图象上(-1,0)、(3,0)、(1,-5)三点的坐标,写出函数的解析式。解:由题设知,当和时,函数的值都等于0.故设二次函数的解析式为,把(1,-5)代入上式,得,故所求的解析式为这道例题告诉我们

6、用待定系数法确定函数式时要讲究一些解题技巧.此题若设所求二次函数的解析式为,用待定系数法,把已知的三点代入,得到一个三元一次方程组,进而求出三个待定系数,这种解法运算量较大.一、配方法配方,一般是指在一个代数式中通过加减相同的项,把其中若干项变形为n次幂形式的项.这是恒等变形的重要方法之一.因为它有广泛的迁移意义。举例如下:例3分解因式(1)(2)解:(1)=(2)6智浪教育—普惠英才文库例4已知为正整数,且是一个完全平方数,则的一个值是_____。(第九界“希望杯”赛试题)解:设①将展开后得②由①、②得比较两边的指数,得或者解之得或者。此题有两解,所以任意填其中的一个都行。一、换元

7、法把一个简单的含变元的式子替换一个较为复杂的含变元的式子,从而使问题得以简化。这样的方法就叫做换元法。换元法是数学中重要的解题方法,根据问题的特点,进行巧妙的换元,往往可以化繁为简,化难为易,收到事半功倍的功效,现举例说明。例5化简。(第七界“希望杯”赛培训试题)解:设1996为,则1997=,1995=,所以,原式例6解方程组6智浪教育—普惠英才文库解:令⑴代入方程组中,得解得和代入⑴式中,得分别解之,得显然,这些例题运用了换元法就变的简捷了。一、同一法

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