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极坐标计算二重积分

极坐标计算二重积分

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时间：2018-10-21

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1、极坐标系下二重积分的计算二、二重积分的极坐标转化及计算一、极坐标与直角坐标系的关系什么是极坐标?在平面内取一个定点O，引一条射线OX，这样就建立了一个极坐标系。叫做极点。叫做极轴,对于平面内任一点M,记

2、OM

3、=r,XOrM（r，）就叫做点M的极坐标。∠XOM=,平面上任一点（r，）一、极坐标与直角坐标系的关系两坐标系中变量间关系：设积分区域D为平面有界区域,并且从原点发出的射线与D的边界线交点不多于两个,则区域D被分割情形见下图.二重积分中被积函数求极坐标下的积分元素的表示方法。二、二重积分的极坐标转化及计算1、二重

4、积分的极坐标转化图中分割的其中一小块的面积为略去高阶无穷小则有rr,故d=rdrd.于是,二重积分二、极坐标系下二重积分化为累次积分的的三种情形1、区域特征如图D：2、区域特征如图D：极坐标系下区域的面积3、区域特征如图例1将化为在极坐标系下的二次积分。1）4）2）3）1）解：在极坐标系中，闭区域D可表示为2）在极坐标系中，闭区域D可表示为3）在极坐标系中，闭区域D可表示为4）在极坐标系中，闭区域D可表示为例2求D:x2+y2R2(R>0).解在极坐标下D:0rR,02.利用极坐标计算二重积分例3

5、求D:x2+y22ax(a>0).解积分区域D如图,在极坐标下D:0r2acos,例4求(a>0).解积分区域D见图,采用极坐标计算,原式=y=xx2+y2=2ay例5求的值.解考虑区域D:0x+,0y+,记故小结掌握极坐标系下二重积分的计算方法,化二重积分为极坐标下的二次积分,并注意运算技巧.

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