空间向量在立体几何中的应用

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时间:2018-10-25

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1、[备考方向要明了]考什么怎么考1.理解直线的方向向量与平面的法向量.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.3.能用向量方法证明有关直线和平面关系的一些定理(包括三垂线定理).4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.1.高考中很少考查直线的方向向量,而平面法向量则多渗透在解答题中考查.2.利用向量法证明有关线、面位置关系,在高考有所体现,如2012年陕西T18,可用向量法证明.3.高考对空间向量及应用的考查,多以解答题形式考查,并且作为解答题

2、的第二种方法考查,如2012年北京T16,天津T17等.[归纳·知识整合]1.两个重要向量(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量,一条直线的方向向量有无数个.(2)平面的法向量直线l⊥平面α,取直线l的方向向量,则这个向量叫做平面α的法向量.显然一个平面的法向量有无数个,它们是共线向量.[探究] 1.在求平面的法向量时,所列的方程组中有三个变量,但只有两个方程,如何求法向量?提示:给其中一个变量恰当赋值,求出该方程组的一组非零解,即可作为法向量的坐标.2.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1,l2的方

3、向向量分别为n1,n2.l1∥l2n1∥n2⇔n1=λn2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2=0直线l的方向向量为n,平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔m·n=0l⊥αn∥m⇔n=λm平面α、β的法向量分别为n,m.α∥βn∥m⇔n=λmα⊥βn⊥m⇔n·m=03.两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a,b的方向向量为a,b,其夹角为θ,则cosφ=

4、cosθ

5、=(其中φ为异面直线a,b所成的角).4.直线和平面所成的角的求法如图所示,设直线l的方向向量为e,平面α的法向量为n,直线l与平面α所成的角为φ,两向量e与n的夹角为θ,则有sinφ=

6、

7、cosθ

8、=.5.求二面角的大小(1)如图①,AB、CD是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的直线,则二面角的大小θ=〈,〉.(2)如图②③,n1,n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ=〈n1,n2〉(或π-〈n1,n2〉).[探究] 2.两向量的夹角的范围是什么?两异面直线所成角呢?直线与平面所成角呢?二面角呢?提示:两向量的夹角范围是[0,π];两异面直线所成角的范围是;直线与平面所成角的范围是;二面角的范围是[0,π],注意以上各角取值范围的区别.6.点到平面的距离的向量求法如图,设AB为平面α的一条斜

9、线段,n为平面α的法向量,则点B到平面α的距离d=.[自测·牛刀小试]1.(教材习题改编)两条不重合的直线l1和l2的方向向量分别为v1=(1,-1,2),v2=(0,2,1),则l1与l2的位置关系是(  )A.平行         B.相交C.垂直D.不确定解析:选C ∵v1·v2=1×0+(-1)×2+2×1=0,∴v1⊥v2,从而l1⊥l2.2.若直线l的方向向量为a=(1,0,2),平面α的法向量为n=(-2,0,-4),则(  )A.l∥αB.l⊥αC.l⊂αD.l与α斜交解析:选B ∵a=(1,0,2),n=(-2,0,-4)∴n

10、=-2a,即a∥n.∴l⊥α.3.若平面α、β的法向量分别为n1=(2,-3,5),n2=(-3,1,-4),则(  )A.α∥βB.α⊥βC.α、β相交但不垂直D.以上均不正确解析:选C ∵n1·n2=2×(-3)+(-3)×1+5×(-4)≠0,∴n1与n2不垂直,∴α与β相交但不垂直.4.(教材习题改编)已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角的大小为________.解析:cos〈m,n〉===,即〈m,n〉=45°,其补角为135°.∴两平面所成的二面角为45°或135°.答案:45°或13

11、5°5.若平面α的一个法向量为n=(2,1,2),直线l的一个方向向量为a=(-1,1,1),则l与α所成的角的正弦值为________.解析:设直线l与平面α所成的角为θ,则sinθ=

12、cos〈n,a〉

13、===.答案:用向量法证明平行、垂直[例1] 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2BC,E、F、E1分别是棱AA1,BB1,A1B1的中点.(1)求证:CE∥平面C1E1F;(2)求证:平面C1E1F⊥平面CEF.[自主解析] 以D为原点,DA,DC,DD1所在的直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设BC=1,则C(

14、0,1,0),E(1,0,1),C1(0,1,2),F(1,1,1),E1.(1)设平面C1E1F的法向量n=(x,y,z).∵=,=(-1,0,1)

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