最小二乘估计教案

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1、最小二乘估计教案　　最小二乘估计　　教学目标：1、掌握最小二乘法的思想　　　　2、能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程　　教学重点：最小二乘法的思想　　教学难点：线性回归方程系数公式的应用　　教学过程　　回顾：上节课我们讨论了人的身高与右手一拃长之间的线性关系，用了很多种方法来刻画这种线性关系，但是这些方法都缺少数学思想依据。　　问题1、用什么样的线性关系刻画会更好一些？　　想法：保证这条直线与所有点都近（也就是距离最小）。　　最小二乘法就是基于这种想法。　　问题2、用什么样的方法刻画点与直线的距离会方便有效？　　设直线方程为y=a+b

2、x，样本点A（xi，yi）　　方法一、点到直线的距离公式　　　　　　方法二、　　显然方法二能有效地表示点A与直线y=a+bx的距离，而且比方法一更方便计算，所以我们用它来表示二者之间的接近程度。　　问题3、怎样刻画多个点与直线的接近程度？　　例如有5个样本点，其坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5）与直线y=a+bx的接近程度：　　从而我们可以推广到n个样本点：（x1，y1），（x2，y2），…（xn，yn）与直线y=a+bx的接近程度：　　使得上式达到最小值的直线y=a+bx就是我们所要求的直线，

3、这种方法称为最小二乘法　　问题4、怎样使达到最小值？　　先来讨论3个样本点的情况　　设有3个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），则由最小二乘法可知直线y=a+bx与这3个点的接近程度由下面表达式刻画：　　…………………①　　整理成为关于a的一元二次函数，如下所示：　　　　　利用配方法可得　　从而当时，使得函数达到最小值。　　将代入①式，整理成为关于b的一元二次函数，　　　　　　　　　　同样使用配方法可以得到，当　　时，使得函数达到最小值。　　从而得到直线y=a+bx的系数a，b，且称直线y=a+bx为这3个样本点的线性回归方程。　　用

4、同样的方法我们可以推导出n个点的线性回归方程的系数：　　　　其中　　由我们知道线性回归直线y=a+bx一定过。　　例题与练习　　例1在上一节练习中，从散点图可以看出，某小卖部6天卖出热茶的杯数（y）与当天气温（x）之间是线性相关的。数据如下表　　气温（xi）／oC261813104-1　　杯数（yi）／杯202434385064　　（１）试用最小二乘法求出线性回归方程。　　（２）如果某天的气温是－3oC，请预测可能会卖出热茶多少杯。　　解：（1）先画出其散点图　　　　ixiyixi2xiyi　　12620676520　　21824324432　　3

5、1334169442　　41038100380　　545016200　　6－1641－64　　合计7023012861910　　可以求得　　则线性回归方程为　　　　y=57.557－1.648x　　（2）当某天的气温是－3oC时，卖出热茶的杯数估计为：　　练习1已知x，y之间的一组数据如下表，则y与x的线性回归方程y=a+bx必经过点　　　　(　D　)　　x0123　　y1357　　（A）（2，2）　（B）（1.5，0）　（C）（1，2）　（D）（1.5，4）　　练习2某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：　　商店名称ABCD

6、E　　销售额（x）/千万元35679　　利润额（y）/百万元23345　　（１）画出销售额和利润额的散点图；　　（２）若销售额和利润额具有相关关系，计算利润额y对销售额x的回归直线方程。　　解：（1）　　（2）数据如下表：　　ixiyixi2xiyi　　13296　　2532515　　3633618　　4744928　　5958145　　合计3017200112　　可以求得b=0.5，a=0.4　　线性回归方程为：　　小结　　1、最小二乘法的思想　　2、线性回归方程的系数：　　作业：P60习题1－8第1题