第7章 弯曲板单元

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1、6.1引言1、板定义一个构件当其厚度尺寸远小于长、宽两个方向尺寸时，称为板。这里主要讲“平板”。厚板——厚度与其它一个最小尺寸之比大于1/5。薄板——厚与其它尺寸之比小于1/5，弯曲刚度不为零。薄膜——厚度薄，弯曲刚度为零时。第6章弯曲板单元本章涉及的板属于薄板范畴。所谓“弯曲板”指受侧向荷载作用、以弯曲变形为主的板。2、中面位于1/2板厚位置、与板平面平行的面称为板的中面（图6-1）。今后，我们把坐标面xoy置于中面上，z轴方向符合右手螺旋规则。xyzt/2t/2中面xyz计算简图图6-13、小挠度薄板理论基本假设板屈曲时，其侧向挠度（

2、w）远小于板的厚度（t）时，属于小挠度问题。通常，对小挠度薄板性能作以下四条假设：（1）直法线假设。变形前垂直于中面的直线，变形后仍然垂直于中面；（2）略去垂直于中面的法向应力及其相应的应变；（3）略去弯曲变形引起的中面伸长、缩短与剪切变形；（4）板的材料是均匀的，并且服从虎克定律。由此，只有3个应变x、y、xy需要在计算中考虑。4、板的应力与内力素（1）应力从薄板中取出一个长、宽、高分别为dx、dy和t的微分体，坐标系如图6-2所示。图6-2薄板弯曲应力dxdytxyxyyxxz弯曲变形时的薄板内，存在着六个应力分量。

3、yzxyz假设2表明，对薄板小挠度问题，有加之相应的应变、也被略去，薄板内任何一点（x、y、z）的挠度与坐标z无关，挠度w仅仅是坐标（x、y）的函数。因此，我们完全可以用中面的挠度来描述整个薄板的挠度。(2)弯曲力弯曲应力组成了六个内力素Mx、My、Mxy、Myx、Qx和Qy，由于它们和弯曲变形相对应，称为弯曲力（图6-3）。MxMxxyz弯曲力约定:弯曲力是板相应方向单位宽度上的力。②力素的正负图中力素矢量为正。xyzQxQxQyQy图6-3MxQxMxQxMxyMxyMyxMyxMyQyMyQy力矩、角位移矢量图6-4MyMyMxyM

4、xyMyxMyx6.2基本方程1、位移由假设（1）、（3），板内任一点的位移有：u、v、wu——x方向位移v——y方向位移w——z方向位移并有(6-1)2、应变板内任一点，需要考虑由三个分量组成应变向量：再注意到式（6-1），应变列阵可表示为(6-2)引入板单元的形变向量，有(6-3)板内任一点的应变向量表示为（6-4）3、应力由物理方程，对板内任一点都有这与平面应力问题的物理方程相同，也可写为（6-5）式中（6-5a）4、内力矩板内任一点的内力矩用表示，它们是板单位宽度上的内力矩（如图6-2），分别是该点应力的合力矩，并且（6-6

5、）——薄板弯曲变形的弹性矩阵（6-7）比较式（6-5）和式（6-6），可用内力矩表示薄板的应力（6-8）6.3薄板矩形单元1、单元位移和单元力根据基本假设，薄板弯曲理论是梁弯曲理论的二维化结果。因此，薄板弯曲弯曲变形时，板中任一点的位移分量是挠度（w）和绕x、y轴的转角x、y。在节点i（图6-5），有wixiyibbaaxyzijmn图6-5（6-9）用挠度表达角位移后（6-10）矩形板单元有4个节点单元位移为(12components)（6-11）e=[wixiyiwjxjyjwmxmymwnxnyn]T单

6、元力：（6-12）Fe=[FziMxiMyiFzjMxjMyjFzmMxmMymFznMxnMyn]T2、位移模式矩形薄板单元有12个节点位移分量。但从式（6-10）知，只有挠度w是独立的，所以只设定挠度w的位移模式，其表达式应含有12个待定系数。设（6-14）按照如图6-5所示边长为2a×2b的矩形单元和坐标系xyz情况，将4个节点的节点位移代入式（6-14），可解出a1～a12，再代入该式并整理，写成第2章形函数形式（2-10）：（6-15）式中，形函数[N]可简写为子矩阵形式：（6-16）（6-18）子矩阵：（6-17）子矩阵元

7、素：其中（6-19）(i,j,m,n)bbaaxyzijmn图6-5按图6-5规定的坐标系，i、i的值总为1或-1。3、应变和应变矩阵将式（6-15）(P15)代入式（6-2）(P8)，可以将单元中任一点的应变计算式为（6-20）式中，[B]是应变矩阵，其子矩阵为：（6-21）符号（6-21a）将式（6-18）(P16)代入式（6-21），得（6-22）由式（6-22）和（6-19）(P17)，即可建立弯曲矩形板单元的应变矩阵[B]。由式（6-3）(P8)定义的形变向量也可按照它与挠度w的关系式（6-2）的关系得出：（6-23）式中[

8、Bi]为式（6-22）所示[Bi]除z的结果，即（6-24）4、应力和应力矩阵将式（6-20）代入物理方程式（6-5），得应力计算式（6-25）应力矩阵为：（6-26）其中子矩阵（i,j,m