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1、二维图形的几何变换图形几何变换是指一般对图形的几何信息经过几何变换后产生新的图形。它可以看作是图形不动而坐标系变动，变动后该图形在新的坐标系下具有新的坐标值，也可以看作是坐标系不动而图形变动，变动后的图形在坐标系中的坐标值发生变化。对于线框图形的几何变换，通常是以点变换为基础，把图形的一系列顶点作几何变换后，连接新的顶点序列即可产生新的变换后的图形。对于用参数方程描述的图形，可以通过参数方程几何变换，实现对图形的几何变换。形的数学表示在二维空间，可以用一个行向量（Xy）来表示一个点。对于一个二维的平面，可以用一个点集来表示，每个点对应一个行向量，则点集为nX2阶矩阵的形式。与二维空间一样，
2、在三维空间内也可以用一个行向量（Xyz）来表示一个点。对于一个三维空间的立体，可以用一个点集来表示，每个点对应一个行向量，则点集为nX3阶矩阵的形式。AJ7!Z1x2^2Z2x3番番番••••••P=二维图形的矩阵变换二维图形的基本变换二维图形的矩阵变换有以下几种：缩放变换，旋转变换，对称变换和错切变换。变换公式：P'=PxT式中：P为点阵，T为变换矩阵。abT=cd1）缩放变换k(义’y)=(^y>,k2=(x^k}W2)讨论:2）旋转变换在fi角坐格乎面中，蒋二讓囲形触点朗角的交换形式如下:cos沒-sin6逆时针旋麻取!£<&麵时针旋撒取货值,=(xcos^—ysingxsin^+.
3、ycos^)对称变换其实只是6Z、么C、6?取0、1等特殊值产生的一些特殊效果。例如：A.当/?=c=0,6F-1，6?=1时有％=-%，产生与7轴对称的图形。B.当/?=c=0,tz=l,d=_l时有x=x,y=-y,产生与x轴对称的图形。C.当/?=c=0，6F#-1时有d尸-y，产生与原点对称的图形。A.当b=c=l，a=d^O时有y=x，产生与直线y=x对称的图形。B.当/?=c=-l，a=6?=0时有x=-y，y=-x,产生与直线对称的图形。4）错切变换rib妨I5J脚脱访向如J挪A.当/?=0时，x=%+cj，，y=^,此时，图形的;y坐标不变，x坐标随初值（ay）及变换系数e
4、作线性变化。B.当c=0时，y-bx^-y,此时，图形的x坐标不变，：y坐标随初值（％，y）及变换系数6作线性变化。5）平移变换X’=X+tx/=y+ty找不到变换矩阵。齐次坐标表示法前面所讨论的二维图形变换矩阵p1不能作平移变换。因为矩ca阵中没有表示平移的参数。为了进行平移变换，须将2X2阶矩阵扩为3X2阶矩阵，即令10T=01这时的变换矩阵是3X2阶的，由矩阵乘法的定义可知，点矩阵与该变换矩阵是无法进行乘法运算的。为了使运算能够进行，须给二维点的行向量增加一个附加坐标，使之成为三维行向量（x,y,1），这样便可以进行运算了。(x’y’)=(xy1)(x+txy+ty)由此可见，新引进
5、的矩阵元素tx、ty分别为x、y方向的平移量.为了实现对二维图形进行的各种变换，要用三维向量来表示二维向量。这种用n+1维向量来表示n维向量的方法叫做齐次坐标表示法。如向童（4,..，）的齐次坐#表示为其中礦一个实数。显然一个向量的齐次表示是不唯一的，齐次坐标的/z取不同的值都表示的是同一个点，比如齐次坐标［8,4,2］、［4,2,1］表示的都是二维点［2,1］。那么引进齐次坐标有什么必要，它有什么优点呢？A.它提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间中的一个点集从一个坐标系变换到另一个坐标系的有效方法。B.它可以表示无穷远的点。n+1维的齐次坐标中如果/z=0,实际上就表示了Z7维空间
6、的一个无穷远点。为了使变换后的点仍然保持为齐次坐标，使二维变换矩阵具有更多的功能，必须将矩阵写成满秩的方阵，这时平移变换矩阵为_100_T=010J,ty平移变换为(X’y'1)=(xy1)0=(x+txy+ty1)上式说明，二维点引入附加坐标后并不因为变换矩阵增加了第三列而使变换受到影响。除了平移变换矩阵外，其它四种变换矩阵都可以写成3X3方阵的形式。以下在进行变换的矩阵运算时，点的坐标均以齐次坐标表示。因此二维变换矩阵的一般形式为ab1y-Cd1efh在二维向量中，点的齐次坐标表示为(i/7)，写成一般形式为(hxJiyh)。对于任何不等于零的h,(7?y/?)都表示普通坐标中的(x7
7、)，所以，在二维空间里，点没有唯一的齐次坐标。例如，齐次坐标6/29刃和依6勿都表示普通坐标的同一点（43）。当齐次坐标值匕知时，若要求普通坐标（xy）时，可用力去除各个齐次坐标，这个过程称为标准化（或称正常化）。xh-hxyh=hyzh=h用齐次坐标表示点的变换将非常方便，因此在本节中所存的儿何变换都将采用齐次坐标进行运算。二维齐次坐标变换的矩阵的形式是：这个矩阵每一个元素都是有特殊含义的。ab其中可以对图形进行缩放、
