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1、降落伞的选择问题一，问题的提出与重述1.1问题提出在物资救援中,空投已经成为一种十分重要且便利的方式,由于降落伞难以多次利用,所以如何减少空投的成本,让人们有更多的资金购买救援物资已经成为了一个不可忽视的课题。1.2问题重述为向灾区空投救灾物资共2000kg，需选购一些降落伞。已知空投高度过500m，要求降落伞落地时的速度不能超过20m/s。降落伞面为半径r的半球面，用每根长共16根绳索连接的载重m位于球心正下方球面处，如下图：每个降落伞的价格由三部分组成。伞面费用C1由伞的半径r决定，；绳索费用C2由绳索总长度及单价6元/米决定；
2、固定费用C3为400元。降落伞在降落过程中受到的空气阻力，可以认为与降落速度和伞面积的乘积成正比。为了确定阻力系数，用半径r=3m、载重m=300kg的降落伞从500m高度作降落试验，测得各时刻t的高度。试确定降落伞的选购方案，即共需多少个，每个伞的半径多大（在表1中选择），在满足空投要求的条件下，使费用最低。二，问题分析本文主要解决的是在满足空投要求下的降落伞的选择问题，是典型的优化问题，通过对题目的分析可以进一步确定是整数线性规划问题。本题所建的模型的目标函数比较简单，主要是约束条件，而在约束条件中每种降落伞的最大载重质量又与空
3、气阻力系数是有一定的量化关系的，因此此模型的关键在于求空气阻力系数。三，模型假设1．降落伞和绳索的质量均不计;2．救灾物资的大小不计,可以看作质点处理;1．降落伞下落的初速度为0;2．救灾物资可以任意分割.四，变量及符号说明第i种降落伞:半径:,伞面费用:;所需绳索长:;绳索费用:6;最大载重质量:;费用:;选用的个数:.总的费用:Z.空气阻力系数:k.重力加速度:g(取).五，模型建立与求解由载重m位于球心正下方球面处可知：绳索与竖直方向的夹角为45度。每种降落伞的费用由三部分组成，所以第i种降落伞的费用为：，又每种降落伞选用的个
4、数为，目标函数为,(i=1,2,3,4,5).=约束条件为：此问题的关键在于求每种降落伞的最大载重质量。而最大载重质量与空气阻力系数k有关，归根结底，想要求得目标函数的最优解必须先得求出空气阻力系数k的值。一．求解空气阻力系数k。对物体做受力分析,物体受重力mg和空气阻力f，0fmg物体在这两个力的作用下以初速度m/s，（1）向下运动，由牛顿第二定律知：，（2）又题中知，降落伞在降落过程中受到的空气阻力，可以认为与降落速度和伞面积的乘积成正比，所以，（3）又由牛顿第二定律的微分形式得：（4）由（1）（2）（3）（4）得：应用MATL
5、AB可求得此微分方程：symsgmkpirv;v=dsolve('Dv=g-2*k*pi*r^2*v/m','v(0)=0','t')结果：v=1/2*g/k/pi/r^2*m-1/2*exp(-2*k*pi*r^2/m*t)*g/k/pi/r^2*m即。由速度的微分定义知：，所以利用MATLAB可求得symst;z=int(1/2*g/k/pi/r^2*m-1/2*exp(-2*k*pi*r^2/m*t)*g/k/pi/r^2*m);[N,D]=numden(z)N=g*m*(2*k*pi*r^2*t+m*exp(-2*k*pi*
6、r^2/m*t));D=4*k^2*pi^2*r^4;H=N/D所以将m=300,g=9.8,r=3代入得：利用Origin进行H与t的非线性拟合，可求得：k=2.945.k求出了可进一步通过分析求得降落伞的最大载重质量。当降落伞的半径为r时，最大载重质量为m。由可得v随着m的增大而增大，由反函数的性质可知若m是v的函数，则m随着v的增大而增大。而在此题中最大的落地速度为20。因此v=20所对应的质量就是降落伞的最大载重质量。因为v中含有t所以无法解出m。此时将v和H联立消去t之后，可得：symsgmkpirv;v=dsolve('
7、Dv=g-2*k*pi*r^2*v/m','v(0)=0','t');a=solve('v=1/2*g/k/pi/r^2*m-1/2*exp(-2*k*pi*r^2/m*t)*g/k/pi/r^2*m','t');symst;z=int(1/2*g/k/pi/r^2*m-1/2*exp(-2*k*pi*r^2/m*t)*g/k/pi/r^2*mV);[N,D]=numden(z);N=g*m*(2*k*pi*r^2*t+m*exp(-2*k*pi*r^2/m*t));D=4*k^2*pi^2*r^4;H=N/D;subs替换。。。(
8、H,'t',a)利用MATLAB可解得：将H=500，v=20，k=2.945代入可得solve('500=1/4*9.8*m*(-log(-(2*20*2.945*3.14*r^2-9.8*m)/9.8/m)*m-(2*20*2.9
