数列求通项及求及常用方法归纳+针对性练习题

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1、WORD文档下载可编辑数列通项与求和常见方法归纳一、知能要点1、求通项公式的方法：(1)观察法：找项与项数的关系，然后猜想检验，即得通项公式an；(2)利用前n项和与通项的关系an＝(3)公式法：利用等差(比)数列求通项公式；(4)累加法：如an＋1－an＝f(n)，累积法，如＝f(n)；(5)转化法：an＋1＝Aan＋B(A≠0，且A≠1)．2、求和常用的方法：(1)公式法：①②(2)裂项求和：将数列的通项分成两个式子的代数差，即，然后累加时抵消中间的许多项.应掌握以下常见的裂项：①②③④⑤(3)错位相减法：如果数列的通项是由一

2、个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法(这也是等比数列前n项和公式的推导方法).(4)倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和(这是等差数列前n项和公式的推导方法).(5)分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.二、知能运用典型例题考点1：求数列的通项专业技术资料分享WORD文档下载可编辑[题型1]解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。【例1】已知数列满足，，求。解：由条

3、件知：分别令，代入上式得个等式累加之，即所以，[题型2]解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。【例2】已知数列满足，，求。解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即又，[题型3](其中p，q均为常数，且)。解法(待定系数法)：转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。【例3】已知数列中，，，求。解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以.[题型4](其中p，q均为常数，且)。(或,其中p，q,r均为常数)。专业技术资料分享WORD文档下载可编辑解

4、法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列(其中)，得：再待定系数法解决。【例4】已知数列中，,，求。解：在两边乘以得：令，则,解之得：所以[题型5]递推公式为与的关系式。(或)解法：这种类型一般利用与消去或与消去进行求解。【例5】已知数列前n项和.(1)求与的关系；(2)求通项公式.解：(1)由得：于是所以.(2)应用题型4(，其中p，q均为常数，且)的方法，上式两边同乘以得：由.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以[题型6]解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解。【例6】已知数

5、列中，，求数列的通项公式。专业技术资料分享WORD文档下载可编辑解：由两边取对数得，令，则，再利用待定系数法解得：。考点2：数列求和[题型1]公式法【例7】已知是公差为3的等差数列，数列满足(1)求的通项公式；(2)求的前项和.解：(1)依题a1b2+b2=b1，b1=1，b2=，解得a1=2…2分通项公式为an=2+3(n-1)=3n-1…6分(2)由(Ⅰ)知3nbn+1=nbn，bn+1=bn，所以{bn}是公比为的等比数列…9分所以{bn}的前n项和Sn=…12分[题型2]裂项求和【例8】为数列{}的前项和.已知＞0，.(1

6、)求{}的通项公式；(2)设,求数列{}的前项和.解析：(1)=；(2)由(1)知，=，所以数列{}前n项和为==.[题型3]错位相减求和【例9】已知数列和满足，.(1)求与；专业技术资料分享WORD文档下载可编辑(2)记数列的前n项和为，求.解析：(1)由，得.当时，，故.当时，，整理得，所以.(2)由(1)知，所以所以所以.[题型4]分组求和【例10】已知{an}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{bn}满足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}为等比数列．(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)求数列{bn}

7、的前n项和．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，由题意得d＝＝＝3.所以an＝a1＋(n－1)d＝3n(n＝1，2，…)．设等比数列{bn－an}的公比为q，由题意得q3＝＝＝8，解得q＝2.所以bn－an＝(b1－a1)qn－1＝2n－1.从而bn＝3n＋2n－1(n＝1，2，…)．(2)由(1)知bn＝3n＋2n－1(n＝1，2，…)．数列{3n}的前n项和为n(n＋1)，数列{2n－1}的前n项和为1×＝2n－1，所以，数列{bn}的前n项和为n(n＋1)＋2n－1.三、知能运用训练题1、(1)已知数列中，，求数列的通项

8、公式；(2)已知为数列的前项和，，，求数列的通项公式.【解】(1)，专业技术资料分享WORD文档下载可编辑(2)，，当时，.2、已知数列中，，求数列的通项公式.【解】，是以为公比的等比数列，其首项为3、已知数列中，，求数列的通项公式.【解】，，令则