初一竞赛讲座13（角的认识）

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1、初一数学竞赛系列讲座(13)角的认识 一、一、知识要点具有公共端点的两条射线所成的图形称为角。与角有关的基本概念有：周角，平角，直角，锐角，钝角，对顶角等。二、二、例题精讲例1．例1．      如图，已知O是直线AC上一点，OB是一条射线，OD平分ÐAOD，OE在ÐBOC内，ÐBOE＝ÐEOC，ÐDOE＝70°，求ÐEOC的度数。分析：易得ÐEOC＝ÐBOC，而ÐBOC+ÐAOB＝180°，结合OD平分ÐAOB，可作ÐBOC平分线，结合ÐDOE可求出ÐBOC，从而求ÐEOC的度数解：作ÐBOC平分线OF，则ÐBOF＝ÐCOF＝ÐBOC∵　OD平分ÐAOB∴　ÐAOD＝ÐDOB＝ÐAO

2、B又∵　ÐBOC+ÐAOB＝180°∴　ÐDOB+ÐBOF＝90°　即　ÐDOF＝90°∴　ÐEOF＝ÐDOF-ÐDOE＝20°又∵　ÐEOF＝ÐBOF-ÐBOE而ÐBOF＝ÐBOC，ÐBOE＝ÐBOC∴ÐEOF＝ÐBOC-ÐBOC＝ÐBOC∴ÐBOC＝6ÐEOF＝120°∴ÐEOC＝ÐBOC＝×120°＝80°即　ÐEOC＝80° 例2．例2．      一个锐角的余角的补角与这个锐角的差是（　　　　）A．锐角　　B．直角　　C．钝角　　D．不能确定分析：设该锐角为a，它的余角（90°-a）的补角b应为180°-（90°-a）＝90°+a，b与a的差（90°+a）-a＝90°　　故选

3、B 例1．例3．      已知Ða的余角是Ðb的补角的，Ðb＞110°，求Ða的范围。分析：显然Ða是锐角，由互余和互补的定义及条件可求出Ða与Ðb的关系，再由Ðb的范围，可求出Ða的范围。解：Ða的余角为90°-a，Ðb的补角为180°-b由题意，得90°-a＝（180°-b）∴　　b＝5a-270°∵　　Ðb＞110°∴　　5a-270°＞110°∴　　a＞76°又由条件知Ða为锐角　　∴　a＜90°故Ða的范围是76°＜a＜90°评注：本例把Ða转化到Ðb进而求出Ða的范围。要把相关概念进解透彻，否则就会忽略a＜90°这一条件。 例2．例4．      当时间是2点32分时，时

4、针与分针的夹角是多少度？解：时针每小时转1大格，即30°，所以每分针转0.5°，而分针每分转6°，当时针指向整点时，分针指向12点。因此，我们以指向12点作为角的始边，在2点32分时，时针与12点构成的角度是2×30°+32×0.5°＝76°分针与12点构成的角度是32×6°＝192°，从而，2点32分时，时针与分针的夹角是192°-76°＝116°评注：（1）当时针与分针所转过的角度的差大于180°时，则需用360°减去这个角，例如：2点50分时，按上述方法求得的角是50×6°-(2×30°+50×0.5°)=300°-85°=215°＞180°则时针与分针的夹角为360°-215°

5、＝145°（2）对于确定的时间，例如x点y分时，试写出用x、y表示时针与分针的夹角的表达式。例3．例5．      如图射线OA表示北偏东60°，射线OB表示东南方向，∠BOC是∠AOB的余角，射线OD是射线OC的反向延长线，写出射线OD所表示的方向。解：∠AOB=30°+45°=75°∠AOB的余角∠BOC=90°-75°=15°∴OC表示南偏东30°，OC的反向延长线OD所表示方向是北偏西30°评注：如果本例没有给出图形，那么按题意，射线OC就有在∠AOB外部和内部两种不同位置，求OD的方向也就需要分两种情况求解。 例4．例6．      如图，OA1，OA2，…，OA10是以O为

6、端点的十条射线，∠A1OA10＜90°，则图中以O为顶点以这些射线为边、角度小于平角的角共有多少个？解法一：以O为端点，以十条射线OA1，OA2，…，OA10的任意两条为边组成的角，取决于从十条射线OA1，OA2，…，OA10中选出两条配成的对数。共有9+8+7+6+5+4+3+2+1＝45对，所以图中以O为顶点以这些射线为边、角度小于平角的角共有45个。评注：在数图形的角的总数时，和数线段一样，关键仍是做到不重不漏，因此，必须按照一定的规律去数。解法二：也可化为数线段的问题。如图作一直线，分别交OA1，OA2，…，OA10于A1，A2，…，A10，则每一个角对应于A1A10上的某一条

7、线段。反过来，A1A10上的每一条线段又对应于某一个角，如∠A4OA6，它对应线段A4A6，而线段A4A6恰好对应线段于∠A4OA6，因此，要数图中角的个数，只要数A1A10上的线段数即可，而A1A10上的线段数有9+8+7+6+5+4+3+2+1＝45条因此，图中共有45个角 例1．例7．      求证：成对顶角的两个角的平分线，在一直线上。证明：如图，AB、CD相交于O，则ÐAOC与ÐBOD成对顶角。设OE、OF分别为ÐAOC、ÐBOD的