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《胡适耕实变函数答案解析第三章a》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、word资料下载可编辑第三章习题A1.证明：3.1.2设,存在,可测,则亦存在,且=．证 若，可测，显然，存在，不妨设，0且互不相等，为X中互不相交的可测集，由．所以．又,故，从而．若，可测，显然有，，存在，显然，且令，显然，，且，，，．∴=.专业技术资料word资料下载可编辑，则，由于存在，故，中至少一个有限，不妨设，由于，由知，且=，从而，从而存在，同理由=，且===．2．设如§中例3，，求.解 §中例3中的定义如下:设是任一非空集,取定,对任给,定义；且又由定义知．∴=+=0+==∴=．3．设，则．证 由3.2.2引理知,对有，又由3.2.3(i)知,，从而，故．4．设则．专业技术资
2、料word资料下载可编辑证 由，知．因为，所以由命题3.2.3知，又，故．5.设则对每个可测集有． 证 “”由存在由于，又故，由命题3.2.4知,即． “”令．即，由命题3.2.5知，在上，从而.同理可证.又，故在上.6．设对任何可测集有则.证 令,则有，在上，则有，∴，由命题3.2.5，当时于于，故于.7．求证：若则À上的集函数是一个测度．证 ()À；()若À则À；专业技术资料word资料下载可编辑()若À，则À，故À为上的一个代数，()(即)；()若À是互不相交的可测集,∵∴故À上的集函数是一个测度.8．设对上的任何有界可测函数g有则.证:取；则，故在上..9．设则证 已知由命题3.
3、2.3(ii)知：∵为升列,则为降列,又由3.2.7(ⅲ)知,专业技术资料word资料下载可编辑其中∴∴．最后让我们说明，此由已知，故，即可知.10．设，且有限,则.证 令，则由积分单调性，得：.令，则当时，由积分的可加性，得．∵∴利用积分的下连续性，令，故.11．设可测（1每个至少属于个，则某个证 ∵且至少属于个．∴∴使得若不然，则，均有，矛盾．12．设在集上在的长为的余区间上求专业技术资料word资料下载可编辑解 ∵∴∴令则这样的共有个，且互不相交，又在上，∴13．设在可微，则在上可积.证 （1）先证对适当的可积由倒数定义知，存在故对，使得在中，有∴．（2）再证．对上述，当时，有．∵∴
4、，同理可证，．综上所述，在上可积．14．设一致连续，则.证 不妨设，设当时，不趋于0，则存在对任意的，总存在，因一致连续，故，专业技术资料word资料下载可编辑使得对每个，在每个上，，且互不相交，从而由此得出，这与已知矛盾．故.15．设是上的计数测度，则有可数集，使.证 不妨设由命题3.2.3（ii）知：有有限测度，即存在使得有有限测度.由于是计数测度，．因为可数个可数集的并集还是可数集，所以是可数集．∴集是可数集.不妨设∴16．设或，则.证 当时，有，由Levi定理，有，又，故积分专业技术资料word资料下载可编辑都存在，同样由于，也有，故存在，从而也存在．∴∴同理可证当时，亦有上述结论
5、．17．设可测，则几乎每个至多属于有限个.证 可测可测则由定理的推论知．∴∴在上几乎处处有限.设属于无限多个},则.则几乎每个至多属于有限个18．设可测{至少属于个}，则. 证 首先证明对于可测集序列，是中可测集．此由各可测，故各相应的特征函数是上的非负可测函数列．于是令，其中是单调上升可测函数列的极限函数，故也是可测函数，即，于是由可测函数为特征性质，是中可测集．注意到，于是证得可测．专业技术资料word资料下载可编辑 其次，一方面显然有，另一方面，由定理，，于是得到，即．19．求解 因为，在非负连续，由3.3.2可逐项积分，)．20．设若，则；若则．证 (ⅰ)若，则由定理，有∵∴∴
6、．专业技术资料word资料下载可编辑 （ii）若则．由定理，有．∵∴即．从而.21．设，则.证 （1）先取一列，使得，（2）由有.由定理2.4.2(ⅲ)，又有的子列由定理，则.22、设或则.证 当，有.∴∴，则．专业技术资料word资料下载可编辑当则有子列几乎处处收敛于．∴∴可积∴.23．设，则.证 由于，故于是.设则．∴．又故．因为，由控制收敛定理，有，则.24．设，验证，且.证 ∵∴专业技术资料word资料下载可编辑∴，取，则∴.25．求．解 令，在上，，在上，专业技术资料word资料下载可编辑取，则．又，由控制收敛定理.26．求.解 令，在上，，在上，取，则．又，由控制收敛定理.2
7、7．求.解 令，在上，，在上，，取，则专业技术资料word资料下载可编辑又，由控制收敛定理.28．求.解 令，在上，，在上，，取，则.又由控制收敛定理.29．求.解 令，在上，，在上，，取，则.又∴.专业技术资料word资料下载可编辑30．求.解 令，在上，，在上，．取，则.又∵∴.31.． 证 由知，当时，，故有，令，则，且当时，易验知，而当时，易验知，取控制函数专业技术资料word资料下载可编辑则在可积，于是用控制
