贵州省贵阳市花溪第二中学九年级数学竞赛讲座 27第二十七讲 动态几何问题透视

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1、【例题求解】【例1】如图,把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线上,按顺时针方向在上转动两次,使它转到A″B″C″的位置,设BC=1,AC=,则顶点A运动到点A″的位置时,点A经过的路线与直线所围成的面积是.(黄冈市中考题)思路点拨解题的关键是将转动的图形准确分割.RtΔABC的两次转动,顶点A所经过的路线是两段圆弧,其中圆心角分别为120°和90°,半径分别为2和,但该路线与直线所围成的面积不只是两个扇形面积之和.【例2】如图,在⊙O中,P是直径AB上一动点,在AB同侧作AA′⊥AB,BB′⊥AB,且AA′=AP,BB′=BP,连结A′B′,当

2、点P从点A移到点B时,A′B′的中点的位置()⌒A.在平分AB的某直线上移动B.在垂直AB的某直线上移动C.在AmB上移动D.保持固定不移动(荆州市中考题)第9页(共9页)思路点拨画图、操作、实验,从中发现规律.【例3】如图,菱形OABC的长为4厘米,∠AOC=60°,动点P从O出发,以每秒1厘米的速度沿O→A→B路线运动,点P出发2秒后,动点Q从O出发,在OA上以每秒1厘米的速度,在AB上以每秒2厘米的速度沿O→A→B路线运动,过P、Q两点分别作对角线AC的平行线.设P点运动的时间为秒,这两条平行线在菱形上截出的图形(图中的阴影部分)的周长为厘

3、米,请你回答下列问题:(1)当=3时,的值是多少?(2)就下列各种情形:①0≤≤2;②2≤≤4;③4≤≤6;④6≤≤8.求与之间的函数关系式.(3)在给出的直角坐标系中,用图象表示(2)中的各种情形下与的关系.(吉林省中考题)思路点拨本例是一个动态几何问题,又是一个“分段函数”问题,需运用动态的观点,将各段分别讨论、画图、计算.第9页(共9页)注:动与静是对立的,又是统:一的,无论图形运动变化的哪一类问题,都真实地反映了现实世界中数与形的变与不变两个方面,从辩证的角度去观察、探索、研究此类问题,是一种重要的解题策略.建立运动函数关系就更一般地、整

4、体-地把握了问题,许多相关问题就转化为求函数值或自变量的值.【例4】如图,正方形ABCD中,有一直径为BC的半圆,BC=2cm,现有两点E、F,分别从点B、点A同时出发,点E沿线段BA以1m/秒的速度向点A运动,点F沿折线A—D—C以2cm/秒的速度向点C运动,设点E离开点B的时间为2(秒).(1)当为何值时,线段EF与BC平行?(2)设1<<2,当为何值时,EF与半圆相切?(3)当1≤<2时,设EF与AC相交于点P,问点E、F运动时,点P的位置是否发生变化?若发生变化,请说明理由;若不发生变化,请给予证明,并求AP:PC的值.(江西省中考题)思

5、路点拨动中取静,根据题意画出不同位置的图形,然后分别求解,这是解本例的基本策略,对于(1)、(2),运用相关几何性质建立关于的方程;对于(3),点P的位置是否发生变化,只需看是否为一定值.注:动态几何问题常通过观察、比较、分析、归纳等方法寻求图形中某些结论不变或变化规律,而把特定的运动状态,通过代数化来定量刻画描述也是解这类问题的重要思想.【例5】⊙O1与⊙O2相交于A、B两点;如图(1),连结O2O1并延长交⊙O1于P点,连结PA、PB并分别延长交⊙O2于C、D两点,连结CO2并延长交⊙O2于E点.已知⊙O2的半径为R,设∠CAD=.(1)求:

6、CD的长(用含R、的式子表示);(2)试判断CD与PO1的位置关系,并说明理由;第9页(共9页)(3)设点P′为⊙O1上(⊙O2外)的动点,连结P′A、P′B并分别延长交⊙O2于C′、D′,请你探究∠C′AD′是否等于?C′D′与P′Ol的位置关系如何?并说明理由.(济南市中考题)⌒思路点拨对于(1)、(2),作出圆中常见辅助线;对于(3),P点虽为OOl上的一个动点,但⊙O1、⊙O2一些量(如半径、AB)都是定值或定弧,运用圆的性质,把角与孤联系起来.学力训练1.如图,ΔABC中,∠C=90°,AB=12cm,∠ABC=60°,将ΔABC以点B

7、为中心顺时针旋转,使点C旋转到AB延长线上的D处,则AC边扫过的图形的面积是cm(π=3.14159…,最后结果保留三个有效数字).(济南市中考题)2.如图,在RtΔABC中,∠C=90°,∠A=60°,AC=cm,将ΔABC绕点B旋转至ΔA'BC'的位置,且使A、B、C'三点在同一条直线上,则点A经过的最短路线的长度是cm.(黄冈市中考题)3.一块等边三角形的木板,边长为l,现将木板沿水平线翻滚,那么B点从开始至结束走过的路径长度为()A.B.C.4D.(烟台市中考题)4.把ΔABC沿AB边平移到ΔA'B'C'的位置,它们的重叠部分的面积是ΔA

8、BC的面积的一半,若AB=,则此三角形移动的距离AA'是()A.B.C.1D.(荆门市中考题)第9页(共9页)5.如图,正三角形ABC的

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