【2013朝阳一模】北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习 理科数学

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1、北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试（理工类）2013.4（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）为虚数单位，复数的虚部是A．B．C．D.【答案】A，所以虚部是，选A.（2）已知集合，，则A.B.C.D.【答案】D，所以，选D.（3）已知向量，.若，则实数的值为A．B．C．D．【答案】A,因为，所以，解得，选A.（4）在极坐标系中，直线与曲线相交于两点,为极点，则的大

2、小为A．B．C．D．【答案】C直线对应的直角方程为，由得-15-，即，即。所以圆心为，半径为1，所以，所以，选C.（5）在下列命题中，①“”是“”的充要条件；②的展开式中的常数项为；③设随机变量～,若，则．其中所有正确命题的序号是A．②B．③C．②③D．①③【答案】C①由，得，所以①错误。②展开式的通项公式为，由得，，所以常数项为，所以②正确。③因为，所以，所以③正确。选C.（6）某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为A.B.C.D.8【答案】D-15-由三视图可知，该几何体的为，其中长方体底面为正方形，正方形的边长为2

3、.其中,将相同的两个几何体放在一起，构成一个高为4的长方体，所以该几何体体积为。（7）抛物线（＞）的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，且满足.过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为A.B.1C.D.2【答案】A（8）已知函数.若，使成立，则称为函数的一个“生成点”.函数的“生成点”共有A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B由题意知，因为，所以，。因为，所以当时，，此时解得，生成点为。当时，，此时解得，生成点为。所以函数的“生成点”共有2个，选B.第二部分（非选择题共110分）-15-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案

4、填在答题卡上.（9）在等比数列中，，则，为等差数列，且，则数列的前5项和等于.【答案】，在等比数列中，解得。在等差数列中，所以。（10）在中，，，分别为角，，C所对的边.已知角为锐角，且,则.【答案】由得，所以,，即.（11）执行如图所示的程序框图，输出的结果S=.【答案】-15-第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；第四次循环，；此时满足条件输出，.（12）如图，圆是的外接圆，过点C作圆的切线交的延长线于点.若，，则线段的长是；圆的半径是.【答案】1,，设，则，即，所以，解得，即.所以三角形为直角三角形，且所以,所以三角形为正三角形，所以半径.（13）

5、函数是定义在上的偶函数，且满足.当时，.若在区间上方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是.【答案】由得函数的周期是2.由得，设，作出函数的图象，如图-15-，要使方程恰有四个不相等的实数根，则直线的斜率满足，由题意可知，，所以，所以，即。（14）在平面直角坐标系中，已知点是半圆（≤≤）上的一个动点，点在线段的延长线上．当时，则点的纵坐标的取值范围是．【答案】由图象可知，当点A位于点B时，点C的纵坐标最大。当点A位于点D时，点C的纵坐标最小由图象可知,。当点A位于点B时，，因为，所以此时.由相似性可知，解得，同理当点A位于点D时，解得，所以点的纵坐标的

6、取值范围是，即。-15-三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.（15）（本小题满分13分）已知函数（）的最小正周期为.（Ⅰ）求的值及函数的单调递增区间；（Ⅱ）当时，求函数的取值范围.（16）（本小题满分13分）盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数字．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数字后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）．（Ⅰ）在一次试验中，求卡片上的数字为正数的概率；（Ⅱ）在四次试验中，求至少有两次卡片上的数字都为正数的概率；（Ⅲ）在两次试验中，记卡片上的数字分别为，试求随机变量的分布

7、列与数学期望．（17）（本小题满分14分）PDABCFE如图，在四棱锥中，平面平面，且，．四边形满足，，．点分别为侧棱上的点，且．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）当时，求异面直线与所成角的余弦值；（Ⅲ）是否存在实数，使得平面平面？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由．（18）（本小题满分13分）已知函数，其中．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数在上有且只有一个零点，求实数的取值范围.（19）（本小题满分14分）-15-已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点,离心率为，点为其右顶点.过点作直线与椭圆相交于两点，直线，与直线分别交于点，.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求

8、的取值范围.（20）（本小题满分13分）设是数的任意