等价无穷小替换,极限的计算

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1、WORD文档下载可编辑无穷小极限的简单计算【教学目的】1、理解无穷小与无穷大的概念;2、掌握无穷小的性质与比较会用等价无穷小求极限;3、不同类型的未定式的不同解法。【教学内容】1、无穷小与无穷大;2、无穷小的比较;3、几个常用的等价无穷小等价无穷小替换;4、求极限的方法。【重点难点】重点是掌握无穷小的性质与比较用等价无穷小求极限。难点是未定式的极限的求法。【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质(30分钟),在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法(20分钟)。最后归纳总结求极限的常用

2、方法和技巧(25分钟),课堂练习(15分钟)。【授课内容】一、无穷小与无穷大1.定义前面我们研究了数列的极限、(、)函数的极限、(、)函数的极限这七种趋近方式。下面我们用*表示上述七种的某一种趋近方式,即*定义:当在给定的*下,以零为极限,则称是*下的无穷小,即。例如,【注意】不能把无穷小与很小的数混淆;零是可以作为无穷小的唯一的数,任何非零常量都不是无穷小。定义:当在给定的*下,无限增大,则称是*下的无穷大,即。显然,时,都是无穷大量,【注意】不能把无穷大与很大的数混淆;无穷大是极限不存在的情形之一。无穷小与无穷大是相对的,在不

3、同的极限形式下,同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大,如专业资料整理分享WORD文档下载可编辑,,所以当时为无穷小,当时为无穷大。2.无穷小与无穷大的关系:在自变量的同一变化过程中,如果为无穷大,则为无穷小;反之,如果为无穷小,且,则为无穷大。小结:无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势,因此任何常量都不是无穷大量,任何非零常量都不是无穷小,谈及无穷大量、无穷小量之时,首先应给出自变量的变化趋势。3.无穷小与函数极限的关系:定理1其中是自变量在同一变化过程(或)中的无穷小.证:(必要性)设令则有(充分性)设其中是当时的无穷小

4、,则【意义】(1)将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);(2)3.无穷小的运算性质定理2在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小.如:,,推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.二、无穷小的比较例如,观察各极限:专业资料整理分享WORD文档下载可编辑不可比.极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.1.定义:设是自变量在同一变化过程中的两个无穷小,且例1

5、证:例2解2.常用等价无穷小:(1)~;(2)~;(3)~;(4)~;(5)~;(6)~(7)~(8)~(9)~用等价无穷小可给出函数的近似表达式:例如3.等价无穷小替换专业资料整理分享WORD文档下载可编辑定理:证:例3(1);(2)解:(1)故原极限=8(2)原极限==例4错解:=0正解:故原极限【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换,只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换。例5解:原式三、极限的简单计算1.代入法:直接将的代入所求极限的函数中去,若存在,即为其极限,例如;若专业资料整理分享WORD文档下载可编辑不存在

6、,我们也能知道属于哪种未定式,便于我们选择不同的方法。例如,就代不进去了,但我们看出了这是一个型未定式,我们可以用以下的方法来求解。2.分解因式,消去零因子法例如,。3.分子(分母)有理化法例如,又如,4.化无穷大为无穷小法例如,,实际上就是分子分母同时除以这个无穷大量。由此不难得出又如,,(分子分母同除)。专业资料整理分享WORD文档下载可编辑再如,,(分子分母同除)。5.利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限例如,,(无穷小量乘以有界量)。又如,解:商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得再如,等价无穷小量替换求极限的例子见

7、本节例3—例5。6.利用两个重要极限求极限(例题参见§1.4例3—例5)7.分段函数、复合函数求极限例如,解:左右极限存在且相等,【启发与讨论】思考题1:专业资料整理分享WORD文档下载可编辑解:无界,不是无穷大.结论:无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.思考题2:若,且,问:能否保证有的结论?试举例说明.解:不能保证.例思考题3:任何两个无穷小量都可以比较吗?解:不能.例如当时都是无穷小量但不存在且不为无穷大,故当时和不能比较.【课堂练习】求下列函数的极限(1);解:原极限=(2)求【分析】“”型,拆项。解:原

8、极限===(3);【分析】“抓大头法”,用于型专业资料整理分享WORD文档下载可编辑解:原极限==,或原极限(4);【分析】分子有理化解:原极限===(5)【分析】型,是不定型,四则运算法则无法应用,需先通分,后计算。解:===(6)【分析】“”型

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