椭圆的弦中点问题 -解析版

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1、东光一中高二年级数学学科课时练出题人：许淑霞出题时间：2015.1.22椭圆的中点弦问题学案学习目标：会求与椭圆的中点弦有关的问题掌握一种思想：设而不求，整体代换的思想体会两种方法：判别式法与点差法学习重点：能解决与椭圆的中点弦有关的问题学习过程：一、方法总结：1、与椭圆的弦的中点有关的问题，我们称之为椭圆的中点弦问题。2、解椭圆的中点弦问题的一般方法是：（1）判别式法：联立直线和椭圆的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式求解。（2）点差法：若设直线与椭圆的交点（弦的端点）坐标为、，将这两点代入椭圆的方

2、程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。3、设直线的技巧：（1）直线过定点时引入参数斜率，利用点斜式设方程，注意讨论斜率存在与不存在两种情况。（2）直线斜率一定时引入参数截距，利用斜截式设方程。（3）已知一般直线可设直线的斜截式方程，利用条件寻找k与b的关系。3、直线与椭圆相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。这类问题一般有以下三种类型：（1）求过中点的弦所在直线方程问题；（2）求弦中点的轨迹方程问题；（3）求与中点弦有关的圆

3、锥曲线的方程二、题型复习：（一）、求过中点的弦所在直线方程问题例1、已知椭圆，求过点p(,)且被点p平分的弦所在直线方程注意：解决过中点的弦的问题时判断点位置非常重要。6（1）若中点在圆锥曲线内，则被点平分的弦一般存在；（2）若中点在圆锥曲线外，则被点平分的弦可能不存在。结论：（1）设椭圆的弦AB的中点为P（，则,（2）设双曲线的弦AB的中点为P（则。（3）设抛物线的弦AB的中点为P（则。练习1、过椭圆内一点M（2，1）引一条弦，使弦被点M平分，求这条弦所在的直线方程。解法一：设所求直线方程为y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理

4、得：又设直线与椭圆的交点为A()，B（），则是方程的两个根，于是，又M为AB的中点，所以，解得，故所求直线方程为。解法二：设直线与椭圆的交点为A()，B（），M（2，1）为AB的中点，所以，，又A、B两点在椭圆上，则，，两式相减得，所以，即，故所求直线方程为。（二）过定点的弦和平行弦的中点轨迹6例2：已知椭圆，（1）过点引椭圆的割线，求割线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程。（2）求斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程。解法一：设过点的直线方程为，联立方程，消去，整理得，设弦的两个端点为、，中点，则，，代入得，即又过点的直线与椭圆相交，所以

5、解得，即，解得。当不存在时，不满足题设要求，舍去。所以割线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程是（）解法二：设弦的两个端点为、，中点，则两式相减得，整理得，由题意知，所以，又，所以，整理得。又过点的直线与椭圆相交，与解法一同理可得6。所以割线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程是（）注意：⑴当定点在圆锥曲线外的时候一定要验证直线与圆锥曲线相交的条件，并求出（或）的取值范围；⑵验证斜率不存在的情况是否符合题意。练习1、过椭圆上一点P（-8，0）作直线交椭圆于Q点，求PQ中点的轨迹方程。解法一：设弦PQ中点M（），弦端点P（），Q（），则有，两式相

6、减得，又因为，，所以，所以，而，故。化简可得（）。解法二：设弦中点M（），Q（），由，可得，，又因为Q在椭圆上，所以，即，所以PQ中点M的轨迹方程为（）。练习2、已知椭圆的一条弦的斜率为3，它与直线的交点恰为这条弦的中点，求点的坐标。解：设弦端点、，弦的中点，则，6又，两式相减得即，即[来源:学.科.网]点的坐标为。（三）、求与中点弦有关的圆锥曲线的方程例3、已知中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，求椭圆的方程。解：设椭圆的方程为，则┅┅①设弦端点、，弦的中点，则，，又，两式相减得即┅┅②联立①②解得，所求椭圆

7、的方程是练习3、平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：＋＝1(a>b>0)右焦点的直线x＋y－＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.6(1)求M的方程；解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则＋＝1，＋＝1，＝－1，由此可得＝－＝1.∵x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，＝，∴a2＝2b2.①又由题意知，M的右焦点为(，0)，∴a2－b2＝3.②由①②得a2＝6，b2＝3.∴M的方程为＋＝1.6