高考理科统计与概率常考题型及训练

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1、高考统计与概率知识点、题型及练习一．随机变量1.随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件：①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。它就被称为一个随机试验.2.离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。若ξ是一个随机变量，a，b是常数.则也是一个随机变量。一般地，若ξ是随机变量，是连续函数或单调函数，则也是随机

2、变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量。设离散型随机变量ξ可能取的值为：ξ取每一个值的概率，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.……P……性质：①；②.3.⑴二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是：(其中)。于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作～B（n，p），其中n，p为参数。.⑵二项分布的判断与应用：①二项分布，实际是对n次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n次独立重复，且每次试验只有

3、两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布。②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列。4.几何分布：“”表示在第k次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k次试验时事件A发生记为，事件A不发生记为，，那么根据相互独立事件的概率乘法分式：，于是得到随机变量ξ的概率分布列.123…k…Pqqp……我们称ξ服从几何分布，并记，其中5.⑴超几何分布：对一般情形，一批产品共件，其中有件不合格品，随机取出

4、的件产品中，不合格品数的分布如下表所示：……其中网高考资源网一般地，若一个随机变量的分布列为，其中，，，，…，，，则称服从超几何分布，记为，并将，记为⑵超几何分布的另一种形式：一批产品由a件次品、b件正品组成，今抽取n件(1≤n≤a+b)，则次品数ξ的分布列为.⑶超几何分布与二项分布的关系:设一批产品由a件次品、b件正品组成，不放回抽取n件时，其中次品数ξ服从超几何分布。若放回式抽取，则其中次品数的分布列可如下求得：把个产品编号，则抽取n次共有个可能结果，等可能：含个结果，故，即～.(我们先为k个次品选定位置

5、，共种选法；然后每个次品位置有a种选法，每个正品位置有b种选法)可以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时，，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样.1.已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球的2分,取出一个黑球的1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X为取出3球所得分数之和.(1)求X的分布列；(2)求X的数学期望E(X).2.一盒零件中有9个正品和3个次品，每次取一个零件，如果取出的次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品数的概率分布。

6、3.一批产品共10件，其中7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件，在下述三种情况下，分别求直至取得正品时所需次数的概率分别布.(1)每次取出的产品不再放回去；(2)每次取出的产品仍放回去；(3)每次取出一件次品后，总是另取一件正品放回到这批产品中.二、数学期望与方差.1.期望的含义：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为……P……ξ01Pqp则称为ξ的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.2.⑴随机变量的数学期望：①当时，，即常数的数学期望就是这个常数本

7、身.②当时，，即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的和.③当时，，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.⑵单点分布：其分布列为：.⑶两点分布：，其分布列为：（p+q=1）⑷二项分布：其分布列为.（P为发生的概率）⑸几何分布：其分布列为～.（P为发生的概率）3.方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为时，则称为ξ的方差.显然，故为ξ的根方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.越小，稳定性越高，波动越小.4.方差的性质.

8、⑴随机变量的方差.（a、b均为常数）ξ01Pqp⑵单点分布：其分布列为⑶两点分布：其分布列为：（p+q=1）⑷二项分布：⑸几何分布：5.期望与方差的关系.⑴如果和都存在，则⑵设ξ和是互相独立的两个随机变量，则⑶期望与方差的转化：⑷（因为为一常数）.三、正态分布1.⑴正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为：.（为常数，且），称ξ服从参数为的正态分布，用～表示.的表达式可简记为，它的密度曲线简称