第6章参数估计[1]

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1、第6章参数估计1，设总体未知，是来自的样本。求的矩估计量。今测得一个样本值0.5，0.6，0.1，1.3，0.9，1.6，0.7，0.9，1.0，求的矩估计值。解：因为总体，所以总体矩。根据容量为9的样本得到的样本矩。令总体矩等于相应的样本矩：，得到的矩估计量为。把样本值代入得到的矩估计值为。2，设总体具有概率密度，参数未知，是来自的样本，求的矩估计量。解：总体的数学期望为，令可得的矩估计量为。3，设总体参数未知，是来自的样本，求的矩估计量（对于具体样本值，若求得的不是整数，则取与最接近的整数作

2、为的估计值）。解：总体的数学期望为，，二阶原点矩为。令总体矩等于相应的样本矩：，得到，。4，（1）设总体未知，是来自的样本，是相应的样本值。求的矩估计量，求的最大似然估计值。（2）元素碳-14在半分钟内放射出到达计数器的粒子数，下面是的一个样本：6496101163710求的最大似然估计值。解：（1）因为总体的数学期望为，所以矩估计量为。似然函数为，相应的对数似然函数为。令对数似然函数对的一阶导数为零，得到的最大似然估计值为。（2）根据（1）中结论，的最大似然估计值为。5，（1）设服从参数为的几

3、何分布，其分布律为。参数未知。设是一个样本值，求的最大似然估计值。（2）一个运动员，投篮的命中率为，以表示他投篮直至投中为止所需的次数。他共投篮5次得到的观察值为51749求的最大似然估计值。解：（1）似然函数为，相应的对数似然函数为。令对数似然函数对的一阶导数为零，得到的最大似然估计值为。（2）根据（1）中结论，的最大似然估计值为。6，（1）设总体，参数已知，未知，是来自一个样本值。求的最大似然估计值。（2）设总体，参数已知，（>0）未知，为一相应的样本值。求的最大似然估计值。解：（1）似然函

4、数为，相应的对数似然函数为。令对数似然函数对的一阶导数为零，得到的最大似然估计值为。（2）似然函数为，相应的对数似然函数为。令对数似然函数对的一阶导数为零，得到的最大似然估计值为。7，设是总体的一个样本，为一相应的样本值。（1）总体的概率密度函数为，，求参数的最大似然估计量和估计值。（2）总体的概率密度函数为，，求参数的最大似然估计值。（3）设已知，未知，求的最大似然估计值。解：（1）似然函数为，相应的对数似然函数为。令对数似然函数对的一阶导数为零，得到的最大似然估计值为。相应的最大似然估计量为

5、。（2）似然函数为，相应的对数似然函数为。令对数似然函数对的一阶导数为零，得到的最大似然估计值为。（3）因为其分布律为所以，似然函数为，相应的对数似然函数为。令对数似然函数对的一阶导数为零，得到的最大似然估计值为。8，设总体具有分布律123其中参数未知。已知取得样本值，试求的最大似然估计值。解：根据题意，可写出似然函数为，相应的对数似然函数为。令对数似然函数对的一阶导数为零，得到的最大似然估计值为。9，设总体，，未知，已知，和分别是总体和的样本，设两样本独立。试求最大似然估计量。解：根据题意，写

6、出对应于总体和的似然函数分别为，，相应的对数似然函数为，，令对数似然函数分别对和的一阶导数为零，得到，算出最大似然估计量分别为，。10，（1）验证均匀分布中的未知参数的矩估计量是无偏估计量。（2）设某种小型计算机一星期中的故障次数，设是来自总体的样本。①验证是的无偏估计量。②设一星期中故障维修费用为，求。（3）验证是的无偏估计量。解：（1）均匀分布中的未知参数的矩估计量为。由于，所以是的无偏估计量。（2）①因为，所以是的无偏估计量。②。（3）因为，所以，是的无偏估计量。11，已知是来自均值为的指

7、数分布总体的样本，其中未知。设有估计量，，。（1）指出中哪几个是的无偏估计量。（2）在上述的无偏估计量中哪一个较为有效？解：（1）因为，。所以，是的无偏估计量。（2）根据简单随机样本的独立同分布性质，可以计算出，所以，是比更有效的无偏估计量。12，以X表示某一工厂制造的某种器件的寿命（以小时计），设，今取得一容量为的样本，测得其样本均值为，求（1）的置信水平为0.95的置信区间，（2）的置信水平为0.90的置信区间。解：这是一个方差已知的正态总体均值的区间估计问题。根据标准的结论，的置信水平为的

8、置信区间为。（1）的置信水平为0.95的置信区间为。（2）的置信水平为0.90的置信区间为。13，以X表示某种小包装糖果的重量（以g计），设，今取得样本（容量为）：55.95,56.54,57.58,55.13,57.48,56.06,59.93,58.30,52.57,58.46（1）求的最大似然估计值。（2）求的置信水平为0.95的置信区间。解：（1）根据已知结论，正态分布均值的最大似然估计量和矩估计量相同：。所以的最大似然估计值为。（2）的置信水平为0.95的置信区间为。14，一农场种植生