高中数学平面向量知识点总结

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1、平面向量知识点总结第一部分：向量的概念与加减运算，向量与实数的积的运算。一．向量的概念：1．向量：向量是既有大小又有方向的量叫向量。2． 向量的表示方法：    （1）°几何表示法：点—射线      有向线段——具有一定方向的线段      有向线段的三要素：起点、方向、长度      记作（注意起讫）  （2）°字母表示法：可表示为3.模的概念：向量的大小——长度称为向量的模。记作：

2、

3、模是可以比较大小的4.两个特殊的向量：1°零向量——长度（模）为0的向量，记作。的方向是任意的。注意与0的区别2°单位向量——长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。二．向

4、量间的关系：1．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。abc记作：∥∥规定：与任一向量平行2．相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。记作：=规定：=任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。3．共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上，所以平行向量也叫共线向量。三．向量的加法：1．定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。注意：；两个向量的和仍旧是向量（简称和向量）aaaCCCBBBAAA2．三角形法则：a+bbabba+ba+b强调：1°“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点2°可以推广到n个向量连加3

5、°4°不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则3.加法的交换律和平行四边形法则1°向量加法的平行四边形法则（三角形法则）：2°向量加法的交换律：+=+3°向量加法的结合律：(+)+=+(+)4.向量加法作图：两个向量相加的和向量，箭头是由始向量始端指向终向量末端。一．向量的减法：1.用“相反向量”定义向量的减法1°“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量。记作-a2°规定：零向量的相反向量仍是零向量。-(-a)=a任一向量与它的相反向量的和是零向量。a+(-a)=0如果a、b互为相反向量，则a=-b,b=-a,a+b=03°向量减法的定义：向量a加上的b

6、相反向量，叫做a与b的差。即：a-b=a+(-b)求两个向量差的运算叫做向量的减法。2.用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：若b+x=a，则x叫做a与b的差，记作a-b3.向量减法做图：表示a-b。强调：差向量“箭头”指向被减数总结：1°向量的概念：定义、表示法、模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量2°向量的加法与减法：定义、三角形法则、平行四边形法则、运算定律五：实数与向量的积（强调：“模”与“方向”两点)1.实数与向量的积实数λ与向量的积，记作：λ定义：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ1°

7、λ

8、=

9、λ

10、

11、

12、2°λ>0时

13、λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ=2．运算定律：结合律：λ(μ)=(λμ)①第一分配律：(λ+μ)=λ+μ②第二分配律：λ(+)=λ+λ③3.向量共线充要条件：向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ使=λ六．平面向量定理：用两个不共线向量表示一个向量；或一个向量分解为两个向量。（其实质在于：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合）平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么于一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2注意几个问题：1°、必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底2°这

14、个定理也叫共面向量定理3°λ1，λ2是被，，唯一确定的数量第二部分：向量的坐标运算七．向量的坐标表示与坐标运算1.平面向量的坐标表示：在坐标系下，平面上任何一点都可用一对实数(坐标)来表示取x轴、y轴上两个单位向量,作基底，则平面内作一向量=x+y，记作：=(x,y)称作向量的坐标2．注意：1°每一平面向量的坐标表示是唯一的；2°设A(x1,y1)B(x2,y2)则=(x2-x1,y2-y1)3°两个向量相等的充要条件是两个向量坐标相等。3．结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。同理可得：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去

15、始点的坐标。4．实数与向量积的坐标运算：已知=(x,y)实数λ则λ=λ(x+y)=λx+λy∴λ=(λx,λy)结论：实数与向量的积的坐标，等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标。八．向量平行的坐标表示结论：∥(¹)的充要条件是x1y2-x2y1=0注意：1°消去λ时不能两式相除，∵y1,y2有可能为0，∵¹∴x2,y2中至少有一个不为02°充要条件不能写成∵x1,x2有可能为03°从而向量共线的充要条件有两种形式：∥(¹)九．线段的定比分点：1．线段的定比分点及λP1,P2是直线l上的两点，P是l上不同于P1,P2的任一点，存在实数λ，P1P1P1P2P2P2PP

16、P使=λλ